ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 655

1) Решим неравенство: $$ 2 \cdot \left(x - \frac{1}{3}\right)^2 > 0 $$ Разделим обе части неравенства на $2$ (так как $2 > 0$, знак неравенства сохраняется): $$ \left(x - \frac{1}{3}\right)^2 > 0 $$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 \geqslant 0$ при всех $x$. Значит, неравенство строго больше нуля выполняется при всех $x$, кроме тех, при которых выражение равно нулю: $$ x - \frac{1}{3} = 0 \implies x = \frac{1}{3} $$ Следовательно, решением является любое действительное число, кроме $x = \frac{1}{3}$. Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$. --- 2) Решим неравенство: $$ 7 \cdot \left(\frac{1}{6} - x\right)^2 \leqslant 0 $$ Разделим обе части неравенства на $7$: $$ \left(\frac{1}{6} - x\right)^2 \leqslant 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, выражение $\left(\frac{1}{6} - x\right)^2$ не может быть строго меньше нуля. Значит, неравенство выполняется только тогда, когда квадрат равен нулю: $$ \left(\frac{1}{6} - x\right)^2 = 0 $$ $$ \frac{1}{6} - x = 0 $$ $$ x = \frac{1}{6} $$ Ответ: $x = \frac{1}{6}$. --- 3) Решим неравенство: $$ 3x^2 - 3 < x^2 - x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства и приведём подобные: $$ 3x^2 - x^2 + x - 3 < 0 $$ $$ 2x^2 + x - 3 < 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ График функции $y = 2x^2 + x - 3$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх ($a = 2 > 0$). Значения функции отрицательны (строго меньше нуля) между корнями. Ответ: $x \in (-1{,}5; 1)$. --- 4) Решим неравенство: $$ (x - 1)(x + 3) > 5 $$ Раскроем скобки в левой части: $$ x^2 + 3x - x - 3 > 5 $$ $$ x^2 + 2x - 3 > 5 $$ Перенесём $5$ в левую часть неравенства: $$ x^2 + 2x - 8 > 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2 $$ $$ x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $$ $$ x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ График функции $y = x^2 + 2x - 8$ — парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$). Значения функции строго больше нуля вне интервала между корнями. Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.