ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 654

1) $x^2 - 3x + 2 < 0$ Найдем нули функции $y = x^2 - 3x + 2$, решив квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1; \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 $$ Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$). Значения функции меньше нуля ($y < 0$) расположены между корнями. Ответ: $x \in (1; 2)$. 2) $x^2 + x - 2 < 0$ Найдем нули функции $y = x^2 + x - 2$, решив уравнение $x^2 + x - 2 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2; \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$). Неравенство строго меньше нуля, значит, решением является интервал между корнями. Ответ: $x \in (-2; 1)$. 3) $x^2 - 2x - 3 > 0$ Найдем нули функции $y = x^2 - 2x - 3$, решив уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1; \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$). Значения функции больше нуля ($y > 0$) лежат вне интервала корней. Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$. 4) $x^2 + 2x - 3 > 0$ Найдем нули функции $y = x^2 + 2x - 3$, решив уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3; \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$). Неравенство строго больше нуля, поэтому решением являются числовые промежутки вне корней. Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$. 5) $2x^2 + 3x - 2 > 0$ Найдем нули функции $y = 2x^2 + 3x - 2$, решив уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2; \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 2 > 0$). Неравенство строго больше нуля, значения положительны вне интервала корней. Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0{,}5; +\infty)$. 6) $3x^2 + 2x - 1 > 0$ Найдем нули функции $y = 3x^2 + 2x - 1$, решив уравнение $3x^2 + 2x - 1 = 0$: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1; \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Ветви параболы направлены вверх ($a = 3 > 0$). Неравенство строго больше нуля, значения положительны вне интервала корней. Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$.