ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 640

1) $y = x^2 + 2x + 3$ Графиком квадратичной функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция принимает наименьшее значение в вершине параболы, а наибольшего значения не имеет. Найдём координаты вершины параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 $$ $$ y_{\text{наим}} = y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 $$ Или выделим полный квадрат: $$ y = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)^2 + 2 $$ Так как $(x + 1)^2 \ge 0$ при любых $x$, то $y \ge 2$. **Ответ:** наименьшее значение равно $2$ (при $x = -1$); наибольшего значения нет. --- 2) $y = -x^2 + 2x + 3$ Старший коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция принимает наибольшее значение в вершине параболы, а наименьшего значения не имеет. Найдём координаты вершины параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 $$ $$ y_{\text{наиб}} = y(1) = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 $$ Или выделим полный квадрат: $$ y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 3 = -(x - 1)^2 + 4 $$ Так как $-(x - 1)^2 \le 0$ при любых $x$, то $y \le 4$. **Ответ:** наибольшее значение равно $4$ (при $x = 1$); наименьшего значения нет. --- 3) $y = -3x^2 + 7x$ Старший коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине параболы, наименьшего значения нет. Найдём абсциссу вершины параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-3)} = \frac{7}{6} $$ Вычислим наибольшее значение: $$ y_{\text{наиб}} = y\left(\frac{7}{6}\right) = -3 \cdot \left(\frac{7}{6}\right)^2 + 7 \cdot \frac{7}{6} = -3 \cdot \frac{49}{36} + \frac{49}{6} = -\frac{49}{12} + \frac{98}{12} = \frac{49}{12} = 4\frac{1}{12} $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $4\frac{1}{12}$ (при $x = \frac{7}{6}$); наименьшего значения нет. --- 4) $y = 3x^2 + 4x + 5$ Старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение в вершине параболы, наибольшего значения нет. Найдём абсциссу вершины параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 3} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} $$ Вычислим наименьшее значение: $$ y_{\text{наим}} = y\left(-\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 5 = -\frac{4}{3} + 5 = 3\frac{2}{3} $$ **Ответ:** наименьшее значение равно $3\frac{2}{3}$ (при $x = -\frac{2}{3}$); наибольшего значения нет.