ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 563

Пусть $x$ деталей изготавливал за 1 ч первый рабочий первоначально, а $y$ деталей — второй рабочий ($x > 0, y > 0$). После изменения условий труда: * первый рабочий стал изготавливать $(x + 3)$ детали за 1 ч; * второй рабочий стал изготавливать $(y + 1)$ деталь за 1 ч. Так как их производительность труда стала одинаковой, составим уравнение: $$ x + 3 = y + 1 $$ Отсюда выразим $y$ через $x$: $$ y = x + 2 $$ Таким образом, второй рабочий первоначально изготавливал $(x + 2)$ детали за 1 ч. В одном часе 60 минут, поэтому время изготовления одной детали составляет: * для первого рабочего: $\dfrac{60}{x}$ мин; * для второго рабочего: $\dfrac{60}{x + 2}$ мин. По условию задачи первый рабочий затрачивал на изготовление одной детали на 2,5 мин больше, чем второй. Составим уравнение: $$ \frac{60}{x} - \frac{60}{x + 2} = 2,5 $$ Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной дроби ($2,5 = \dfrac{5}{2}$): $$ \frac{60}{x} - \frac{60}{x + 2} = \frac{5}{2} $$ Разделим обе части уравнения на 5: $$ \frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2} = \frac{1}{2} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $2x(x + 2)$, при условии $x \neq 0$ и $x \neq -2$: $$ 12 \cdot 2(x + 2) - 12 \cdot 2x = x(x + 2) $$ $$ 24(x + 2) - 24x = x^2 + 2x $$ $$ 24x + 48 - 24x = x^2 + 2x $$ $$ x^2 + 2x - 48 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -48 \end{cases} $$ $$ x_1 = 6, \quad x_2 = -8 $$ Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество изготавливаемых деталей не может быть отрицательным числом. Значит, $x = 6$ деталей в час изготавливал первый рабочий первоначально. Найдем производительность второго рабочего: $$ y = 6 + 2 = 8\text{ (деталей/ч)} $$ Ответ: 6 деталей изготавливал за 1 ч первый рабочий и 8 деталей — второй рабочий.