ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 562

**1)** $$ \begin{cases} y^2 - 3xy + x^2 - x + y + 9 = 0, \\ y - x = 2. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $$ y = x + 2. $$ Подставим полученное выражение вместо $y$ в первое уравнение: $$ (x + 2)^2 - 3x(x + 2) + x^2 - x + (x + 2) + 9 = 0. $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ x^2 + 4x + 4 - 3x^2 - 6x + x^2 - x + x + 2 + 9 = 0; $$ $$ -x^2 - 2x + 15 = 0. $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ x^2 + 2x - 15 = 0. $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -5. $$ Найдём соответствующие значения $y$, используя равенство $y = x + 2$: 1) если $x_1 = 3$, то $y_1 = 3 + 2 = 5$; 2) если $x_2 = -5$, то $y_2 = -5 + 2 = -3$. Ответ: $(3; 5)$, $(-5; -3)$. --- **2)** $$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 - x - y = 6, \\ x - 2y = 3. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $$ x = 2y + 3. $$ Подставим полученное выражение вместо $x$ в первое уравнение: $$ (2y + 3)^2 + 2(2y + 3)y + y^2 - (2y + 3) - y = 6. $$ Раскроем скобки и упростим уравнение: $$ 4y^2 + 12y + 9 + 4y^2 + 6y + y^2 - 2y - 3 - y - 6 = 0; $$ $$ 9y^2 + 15y = 0. $$ Разделим обе части уравнения на $3$ и вынесем $y$ за скобки: $$ 3y^2 + 5y = 0; $$ $$ y(3y + 5) = 0. $$ Отсюда: $$ y_1 = 0 \quad \text{или} \quad 3y + 5 = 0 \implies y_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}. $$ Найдём соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 2y + 3$: 1) если $y_1 = 0$, то $x_1 = 2 \cdot 0 + 3 = 3$; 2) если $y_2 = -\frac{5}{3}$, то $x_2 = 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) + 3 = -\frac{10}{3} + \frac{9}{3} = -\frac{1}{3}$. Ответ: $(3; 0)$, $\left(-\frac{1}{3}; -1\frac{2}{3}\right)$. --- **3)** $$ \begin{cases} xy = 2, \\ xz = 3, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $$ Рассмотрим первое и третье уравнения системы, содержащие только переменные $x$ и $y$: $$ \begin{cases} xy = 2, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $$ Так как $xy = 2$, то $x \neq 0$. Выразим $y$: $$ y = \frac{2}{x}. $$ Подставим выражение для $y$ во второе уравнение подсистемы: $$ x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5; $$ $$ x^2 + \frac{4}{x^2} = 5. $$ Умножим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$: $$ x^4 - 5x^2 + 4 = 0. $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t > 0$. $$ t^2 - 5t + 4 = 0. $$ По теореме Виета корни: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 4. $$ Вернёмся к переменной $x$: 1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$; 2) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Для каждого значения $x$ найдём $y = \frac{2}{x}$ и $z = \frac{3}{x}$ (из уравнения $xz = 3$): 1) при $x = 1$: $$ y = \frac{2}{1} = 2, \quad z = \frac{3}{1} = 3; $$ 2) при $x = -1$: $$ y = \frac{2}{-1} = -2, \quad z = \frac{3}{-1} = -3; $$ 3) при $x = 2$: $$ y = \frac{2}{2} = 1, \quad z = \frac{3}{2} = 1{,}5; $$ 4) при $x = -2$: $$ y = \frac{2}{-2} = -1, \quad z = \frac{3}{-2} = -1{,}5. $$ Ответ: $(1; 2; 3)$, $(-1; -2; -3)$, $(2; 1; 1{,}5)$, $(-2; -1; -1{,}5)$. --- **4)** $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 30, \\ y - x = 3, \\ y - z = 4. \end{cases} $$ Выразим из второго и третьего уравнений переменные $x$ и $z$ через $y$: $$ x = y - 3, $$ $$ z = y - 4. $$ Подставим выражения для $x$ и $z$ в первое уравнение: $$ (y - 3)^2 + y^2 + (y - 4)^2 = 30. $$ Раскроем скобки: $$ y^2 - 6y + 9 + y^2 + y^2 - 8y + 16 = 30; $$ $$ 3y^2 - 14y + 25 - 30 = 0; $$ $$ 3y^2 - 14y - 5 = 0. $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2; $$ $$ y_1 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5; $$ $$ y_2 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}. $$ Найдём значения $x$ и $z$ для каждого $y$: 1) если $y_1 = 5$: $$ x_1 = 5 - 3 = 2, \quad z_1 = 5 - 4 = 1; $$ 2) если $y_2 = -\frac{1}{3}$: $$ x_2 = -\frac{1}{3} - 3 = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}, \quad z_2 = -\frac{1}{3} - 4 = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3}. $$ Ответ: $(2; 5; 1)$, $\left(-3\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}; -4\frac{1}{3}\right)$.