ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 535

**1)** $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$ Данное уравнение является биквадратным. Введём новую переменную: пусть $x^2 = t$, причём $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - 9t + 20 = 0 $$ Найдём корни уравнения через дискриминант: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$ $$ t_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену: 1) $x^2 = 5 \implies x_{1,2} = \pm \sqrt{5}$ 2) $x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm 2$ Ответ: $\pm 2; \pm \sqrt{5}$. --- **2)** $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$ Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $$ t^2 - 11t + 18 = 0 $$ Найдём дискриминант и корни: $$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$ $$ t_2 = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену: 1) $x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3$ 2) $x^2 = 2 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{2}$ Ответ: $\pm 3; \pm \sqrt{2}$. --- **3)** $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$ Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Найдём дискриминант и корни: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $$ $$ t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену: 1) $x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm \sqrt{2}$ 2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x_{3,4} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ Ответ: $\pm \sqrt{2}; \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. --- **4)** $5x^4 - 16x^2 + 3 = 0$ Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 5t^2 - 16t + 3 = 0 $$ Найдём дискриминант и корни: $$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2 $$ $$ t_1 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3 $$ $$ t_2 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$ Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену: 1) $x^2 = 3 \implies x_{1,2} = \pm \sqrt{3}$ 2) $x^2 = \frac{1}{5} \implies x_{3,4} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ Ответ: $\pm \sqrt{3}; \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.