ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 525

Примем объём всей выполненной работы за $1$. Пусть первый специалист, работая один, может выполнить всю работу за $x$ ч, а второй — за $y$ ч ($x > 0$, $y > 0$). Тогда производительность первого специалиста равна $\frac{1}{x}$ работы в час, а второго — $\frac{1}{y}$ работы в час. По условию задачи, работая вместе, специалисты закончили работу за 12 ч. Значит, их совместная производительность равна: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} $$ Если первый специалист выполнит половину всей работы, то он затратит $\frac{1}{2} : \frac{1}{x} = \frac{x}{2}$ ч. Второй специалист выполнит оставшуюся половину работы за $\frac{1}{2} : \frac{1}{y} = \frac{y}{2}$ ч. По условию на всю работу в таком случае понадобилось 25 ч: $$ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 25 $$ Умножим обе части уравнения на 2: $$ x + y = 50 $$ Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\ x + y = 50 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения: $$ y = 50 - x $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12} $$ Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю: $$ \frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12} $$ $$ \frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12} $$ Используя основное свойство пропорции, получаем: $$ 50x - x^2 = 50 \cdot 12 $$ $$ 50x - x^2 = 600 $$ $$ x^2 - 50x + 600 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30 $$ $$ x_2 = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$ Оба значения удовлетворяют смыслу задачи. Найдем соответствующее время для второго специалиста: 1. Если $x = 30$, то $y = 50 - 30 = 20$. 2. Если $x = 20$, то $y = 50 - 20 = 30$. Таким образом, один из специалистов выполнил бы работу за 20 ч, а другой — за 30 ч. Ответ: 20 ч и 30 ч.