ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 519

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} yz = 15, \\ xz = 10, \\ y^2 + z^2 = 34. \end{cases} $$ Рассмотрим уравнения, содержащие переменные $y$ и $z$: $$ \begin{cases} yz = 15, \\ y^2 + z^2 = 34. \end{cases} $$ Так как $yz = 15 \neq 0$, то $z \neq 0$. Выразим $y$ через $z$: $$ y = \frac{15}{z} $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ \left(\frac{15}{z}\right)^2 + z^2 = 34 $$ $$ \frac{225}{z^2} + z^2 = 34 $$ Умножим обе части уравнения на $z^2 \neq 0$: $$ 225 + z^4 = 34z^2 $$ $$ z^4 - 34z^2 + 225 = 0 $$ Пусть $t = z^2$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 34t + 225 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 34$ и $t_1 \cdot t_2 = 225$. Отсюда $t_1 = 9$, $t_2 = 25$. Вернемся к переменной $z$: 1. $z^2 = 9 \implies z_1 = 3$ или $z_2 = -3$. 2. $z^2 = 25 \implies z_3 = 5$ или $z_4 = -5$. Для каждого значения $z$ найдем $y = \frac{15}{z}$ и $x = \frac{10}{z}$ (из уравнения $xz = 10$): 1. При $z = 3$: $y = \frac{15}{3} = 5$, $x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$. 2. При $z = -3$: $y = \frac{15}{-3} = -5$, $x = \frac{10}{-3} = -3\frac{1}{3}$. 3. При $z = 5$: $y = \frac{15}{5} = 3$, $x = \frac{10}{5} = 2$. 4. При $z = -5$: $y = \frac{15}{-5} = -3$, $x = \frac{10}{-5} = -2$. Ответ: $(2; 3; 5)$, $(-2; -3; -5)$, $\left(3\frac{1}{3}; 5; 3\right)$, $\left(-3\frac{1}{3}; -5; -3\right)$. --- 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} xz + yz = 16, \\ xy + yz = 15, \\ xz + xy = 7. \end{cases} $$ Сложим почленно все три уравнения системы: $$ (xz + yz) + (xy + yz) + (xz + xy) = 16 + 15 + 7 $$ $$ 2xy + 2yz + 2xz = 38 $$ Разделим обе части на 2: $$ xy + yz + xz = 19 $$ Теперь поочередно вычтем из полученного уравнения каждое уравнение исходной системы: 1. Вычтем первое уравнение $(xz + yz = 16)$: $(xy + yz + xz) - (xz + yz) = 19 - 16 \implies xy = 3$. 2. Вычтем второе уравнение $(xy + yz = 15)$: $(xy + yz + xz) - (xy + yz) = 19 - 15 \implies xz = 4$. 3. Вычтем третье уравнение $(xz + xy = 7)$: $(xy + yz + xz) - (xz + xy) = 19 - 7 \implies yz = 12$. Получили систему: $$ \begin{cases} xy = 3, \\ xz = 4, \\ yz = 12. \end{cases} $$ Перемножим все три уравнения: $$ (xy) \cdot (xz) \cdot (yz) = 3 \cdot 4 \cdot 12 $$ $$ x^2 y^2 z^2 = 144 $$ $$ (xyz)^2 = 144 \implies xyz = 12 \quad \text{или} \quad xyz = -12 $$ Рассмотрим два случая: 1. Если $xyz = 12$: $x = \frac{xyz}{yz} = \frac{12}{12} = 1$, $y = \frac{xyz}{xz} = \frac{12}{4} = 3$, $z = \frac{xyz}{xy} = \frac{12}{3} = 4$. 2. Если $xyz = -12$: $x = \frac{xyz}{yz} = \frac{-12}{12} = -1$, $y = \frac{xyz}{xz} = \frac{-12}{4} = -3$, $z = \frac{xyz}{xy} = \frac{-12}{3} = -4$. Ответ: $(1; 3; 4)$, $(-1; -3; -4)$.