ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 516

**1)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 28, \\ xy^2 + x^2y = 12 \end{cases} $$ Умножим второе уравнение системы на $3$: $$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 28, \\ 3x^2y + 3xy^2 = 36 \end{cases} $$ Сложим почленно первое и второе уравнения: $$ x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 28 + 36 $$ $$ (x + y)^3 = 64 $$ $$ x + y = 4 $$ Во втором уравнении исходной системы вынесем общий множитель $xy$ за скобки: $$ xy(x + y) = 12 $$ Подставим значение $x + y = 4$: $$ xy \cdot 4 = 12 $$ $$ xy = 3 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ xy = 3 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 4t + 3 = 0 $$ По формуле корней или по теореме Виета: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 3 $$ Таким образом, получаем две пары решений: $(1; 3)$ и $(3; 1)$. Ответ: $(1; 3)$, $(3; 1)$. --- **2)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy^2 + xy^3 = 10, \\ x + xy = 10 \end{cases} $$ Разложим левые части обоих уравнений на множители: $$ \begin{cases} xy^2(1 + y) = 10, \\ x(1 + y) = 10 \end{cases} $$ Заметим, что из второго уравнения следует $x(1 + y) = 10$, откуда $x \neq 0$ и $y \neq -1$. Подставим выражение $x(1 + y) = 10$ в первое уравнение: $$ y^2 \cdot [x(1 + y)] = 10 $$ $$ y^2 \cdot 10 = 10 $$ $$ y^2 = 1 $$ Отсюда: $y = 1$ или $y = -1$. Значение $y = -1$ не подходит, так как при $y = -1$ второе уравнение принимает вид $x(1 - 1) = 10$, то есть $0 = 10$, что неверно. Следовательно, $y = 1$. Найдем $x$, подставив $y = 1$ во второе уравнение: $$ x(1 + 1) = 10 $$ $$ 2x = 10 $$ $$ x = 5 $$ Получаем решение: $(5; 1)$. Ответ: $(5; 1)$.