ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 505

Пусть $x$ — цифра десятков искомого двузначного числа, а $y$ — цифра его единиц ($x \in \{1, 2, \dots, 9\}$, $y \in \{0, 1, \dots, 9\}$). Тогда само число равно $10x + y$, сумма его цифр равна $x + y$, а произведение цифр равно $xy$. По правилу деления с остатком (делимое равно произведению делителя на неполное частное плюс остаток): 1) При делении числа на сумму его цифр частное равно 6, а остаток равен 4: $$ 10x + y = 6(x + y) + 4 $$ При этом остаток меньше делителя: $4 < x + y$. 2) При делении числа на произведение его цифр частное равно 2, а остаток равен 16: $$ 10x + y = 2xy + 16 $$ При этом остаток меньше делителя: $16 < xy$. Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 10x + y = 6(x + y) + 4 \\ 10x + y = 2xy + 16 \end{cases} $$ Упростим первое уравнение системы: $$ 10x + y = 6x + 6y + 4 $$ $$ 4x - 5y = 4 $$ $$ 4x = 5y + 4 $$ $$ x = \frac{5y + 4}{4} $$ Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение: $$ 10 \cdot \frac{5y + 4}{4} + y = 2 \cdot \left(\frac{5y + 4}{4}\right) \cdot y + 16 $$ Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей: $$ 5(5y + 4) + 2y = (5y + 4)y + 32 $$ $$ 25y + 20 + 2y = 5y^2 + 4y + 32 $$ $$ 27y + 20 = 5y^2 + 4y + 32 $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ 5y^2 - 23y + 12 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 529 - 240 = 289 = 17^2 $$ $$ y_1 = \frac{23 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4 $$ $$ y_2 = \frac{23 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = 0{,}6 $$ Так как $y$ — цифра, то $y$ должно быть целым неотрицательным числом. Значит, корень $y_2 = 0{,}6$ не подходит. При $y = 4$ найдем значение $x$: $$ x = \frac{5 \cdot 4 + 4}{4} = \frac{24}{4} = 6 $$ Цифры числа: десятков — 6, единиц — 4. Искомое двузначное число равно 64. Проверка: 1) Сумма цифр: $6 + 4 = 10$. $64 = 10 \cdot 6 + 4$ (частное 6, остаток $4 < 10$) — верно. 2) Произведение цифр: $6 \cdot 4 = 24$. $64 = 24 \cdot 2 + 16$ (частное 2, остаток $16 < 24$) — верно. Ответ: 64.