ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 503

**1)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ x - y = 16 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Воспользуемся формулой разности квадратов для второго уравнения: $$ x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$ Подставим значение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$ из первого уравнения во второе: $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot 8 = 16 $$ $$ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 $$ Запишем новую систему уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ 2\sqrt{x} = 10 $$ $$ \sqrt{x} = 5 $$ $$ x = 5^2 = 25 $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 2\sqrt{y} = 6 $$ $$ \sqrt{y} = 3 $$ $$ y = 3^2 = 9 $$ Оба значения удовлетворяют условиям $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Ответ: $(25; 9)$. --- **2)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ x - y = 5 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Разложим левую часть второго уравнения как разность квадратов: $$ x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$ Подставим значение $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$ из первого уравнения во второе: $$ 1 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5 $$ $$ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 $$ Запишем новую систему уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $$ 2\sqrt{x} = 6 $$ $$ \sqrt{x} = 3 $$ $$ x = 3^2 = 9 $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 2\sqrt{y} = 4 $$ $$ \sqrt{y} = 2 $$ $$ y = 2^2 = 4 $$ Оба значения удовлетворяют условиям $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Ответ: $(9; 4)$.