ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 502

### 1) $$ \begin{cases} x + xy + y = -1, \\ x - xy + y = 3. \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (x + xy + y) + (x - xy + y) = -1 + 3 $$ $$ 2x + 2y = 2 $$ $$ x + y = 1 $$ Вычтем почленно второе уравнение из первого: $$ (x + xy + y) - (x - xy + y) = -1 - 3 $$ $$ 2xy = -4 $$ $$ xy = -2 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 1, \\ xy = -2. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $$ $$ t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 $$ Отсюда получаем две пары решений: 1) $x_1 = 2$, $y_1 = -1$; 2) $x_2 = -1$, $y_2 = 2$. Ответ: $(2; -1)$, $(-1; 2)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} x - xy - y = -7, \\ x + xy - y = 1. \end{cases} $$ Перепишем уравнения, сгруппировав слагаемые: $$ \begin{cases} (x - y) - xy = -7, \\ (x - y) + xy = 1. \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения: $$ 2(x - y) = -6 $$ $$ x - y = -3 $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 2xy = 1 - (-7) $$ $$ 2xy = 8 $$ $$ xy = 4 $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x - y = -3, \\ xy = 4. \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y - 3$. Подставим во второе уравнение: $$ (y - 3)y = 4 $$ $$ y^2 - 3y - 4 = 0 $$ Найдем корни по теореме Виета: $$ y_1 = 4, \quad y_2 = -1 $$ Найдем соответствующие значения $x$: 1) при $y_1 = 4$: $x_1 = 4 - 3 = 1$; 2) при $y_2 = -1$: $x_2 = -1 - 3 = -4$. Ответ: $(1; 4)$, $(-4; -1)$. --- ### 3) $$ \begin{cases} x^2 - y + 2 = 0, \\ x^2 + y^2 - 4 = 0. \end{cases} $$ Выразим $x^2$ из первого уравнения: $$ x^2 = y - 2 $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (y - 2) + y^2 - 4 = 0 $$ $$ y^2 + y - 6 = 0 $$ Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $$ y_1 = 2, \quad y_2 = -3 $$ Найдем соответствующие значения $x$: 1) если $y_1 = 2$, то $x^2 = 2 - 2 = 0$, откуда $x = 0$; 2) если $y_2 = -3$, то $x^2 = -3 - 2 = -5$, уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Ответ: $(0; 2)$. --- ### 4) $$ \begin{cases} x^2 - 3xy + y^2 = 11, \\ xy = 5. \end{cases} $$ Подставим $xy = 5$ в первое уравнение: $$ x^2 - 3 \cdot 5 + y^2 = 11 $$ $$ x^2 + y^2 - 15 = 11 $$ $$ x^2 + y^2 = 26 $$ Используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 2xy$. Подставим известные значения: $$ (x + y)^2 = 26 + 2 \cdot 5 = 36 $$ Отсюда $x + y = 6$ или $x + y = -6$. Рассмотрим два случая: 1) $$ \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 5 $$ Получаем решения: $(1; 5)$ и $(5; 1)$. 2) $$ \begin{cases} x + y = -6, \\ xy = 5. \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 + 6t + 5 = 0$: $$ t_1 = -1, \quad t_2 = -5 $$ Получаем решения: $(-1; -5)$ и $(-5; -1)$. Ответ: $(1; 5)$, $(5; 1)$, $(-1; -5)$, $(-5; -1)$.