ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 495

1) $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 5 - x$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ x(5 - x) = 6 $$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ 5x - x^2 = 6 $$ $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни уравнения: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2 $$ Найдем соответствующие значения $y$: если $x_1 = 3$, то $y_1 = 5 - 3 = 2$; если $x_2 = 2$, то $y_2 = 5 - 2 = 3$. Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$. 2) $$ \begin{cases} xy = 7, \\ x + y = 8. \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 8 - x$. Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x(8 - x) = 7 $$ $$ 8x - x^2 = 7 $$ $$ x^2 - 8x + 7 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни уравнения: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 = 6^2 $$ $$ x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1 $$ Найдем соответствующие значения $y$: если $x_1 = 7$, то $y_1 = 8 - 7 = 1$; если $x_2 = 1$, то $y_2 = 8 - 1 = 7$. Ответ: $(1; 7)$, $(7; 1)$. 3) $$ \begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 11. \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 12 - x$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ x(12 - x) = 11 $$ $$ 12x - x^2 = 11 $$ $$ x^2 - 12x + 11 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни уравнения: $$ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{12 + 10}{2} = 11, \quad x_2 = \frac{12 - 10}{2} = 1 $$ Найдем соответствующие значения $y$: если $x_1 = 11$, то $y_1 = 12 - 11 = 1$; если $x_2 = 1$, то $y_2 = 12 - 1 = 11$. Ответ: $(1; 11)$, $(11; 1)$. 4) $$ \begin{cases} x + y = -7, \\ xy = 10. \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = -7 - x$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ x(-7 - x) = 10 $$ $$ -7x - x^2 = 10 $$ $$ x^2 + 7x + 10 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни уравнения: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{-7 + 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-7 - 3}{2} = -5 $$ Найдем соответствующие значения $y$: если $x_1 = -2$, то $y_1 = -7 - (-2) = -5$; если $x_2 = -5$, то $y_2 = -7 - (-5) = -2$. Ответ: $(-5; -2)$, $(-2; -5)$.