ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 496

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 7, \\ x^2 - y^2 = 14 \end{cases} $$ Применим формулу разности квадратов во втором уравнении системы: $$ (x - y)(x + y) = 14 $$ Так как из первого уравнения $x - y = 7$, подставим это значение: $$ 7(x + y) = 14 $$ $$ x + y = 2 $$ Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 7, \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (x - y) + (x + y) = 7 + 2 $$ $$ 2x = 9 $$ $$ x = 4{,}5 $$ Подставим полученное значение $x = 4{,}5$ в уравнение $x + y = 2$: $$ 4{,}5 + y = 2 $$ $$ y = 2 - 4{,}5 $$ $$ y = -2{,}5 $$ Ответ: $(4{,}5; -2{,}5)$. 2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 - y^2 = 15 \end{cases} $$ Разложим левую часть второго уравнения по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 15 $$ Подставим значение $x + y = 3$: $$ 3(x - y) = 15 $$ $$ x - y = 5 $$ Запишем полученную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 5 \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения: $$ (x + y) + (x - y) = 3 + 5 $$ $$ 2x = 8 $$ $$ x = 4 $$ Подставим $x = 4$ в уравнение $x + y = 3$: $$ 4 + y = 3 $$ $$ y = 3 - 4 $$ $$ y = -1 $$ Ответ: $(4; -1)$. 3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 24, \\ x + y = 4 \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения на множители: $$ (x - y)(x + y) = 24 $$ Так как $x + y = 4$, подставим это значение: $$ 4(x - y) = 24 $$ $$ x - y = 6 $$ Составим систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 6 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения: $$ (x + y) + (x - y) = 4 + 6 $$ $$ 2x = 10 $$ $$ x = 5 $$ Подставим найденный $x = 5$ в уравнение $x + y = 4$: $$ 5 + y = 4 $$ $$ y = 4 - 5 $$ $$ y = -1 $$ Ответ: $(5; -1)$. 4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 8 $$ Подставим значение $x - y = 2$: $$ 2(x + y) = 8 $$ $$ x + y = 4 $$ Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $$ (x + y) + (x - y) = 4 + 2 $$ $$ 2x = 6 $$ $$ x = 3 $$ Подставим значение $x = 3$ в уравнение $x + y = 4$: $$ 3 + y = 4 $$ $$ y = 4 - 3 $$ $$ y = 1 $$ Ответ: $(3; 1)$.