ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 397

Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$ и $\frac{1}{b} > 0$. Сумма положительных чисел положительна: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 0 $$ По определению модуля для положительного выражения получаем: $$ \left|\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right| = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$ Таким образом, требуется доказать неравенство: $$ (a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geqslant 4 $$ Составим разность между левой и правой частями неравенства и преобразуем её: $$ (a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) - 4 $$ Раскроем скобки: $$ a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} - 4 = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 - 4 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 $$ Приведем полученные слагаемые к общему знаменателю $ab$: $$ \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a - b)^2}{ab} $$ Определим знак полученной дроби: 1. Числитель $(a - b)^2 \geqslant 0$, так как квадрат любого вещественного числа неотрицателен. 2. Знаменатель $ab > 0$, так как по условию $a > 0$ и $b > 0$ (произведение двух положительных чисел положительно). Частное неотрицательного числа и положительного числа неотрицательно, следовательно: $$ \frac{(a - b)^2}{ab} \geqslant 0 $$ Так как разность между левой и правой частями больше или равна нулю: $$ (a + b)\left|\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right| - 4 \geqslant 0 $$ то верно и исходное неравенство: $$ (a + b)\left|\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right| \geqslant 4 $$ Что и требовалось доказать. Равенство достигается при $a = b$.