ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 400

Так как по условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то оба сравниваемых выражения неотрицательны: $$ \sqrt{a+b} \ge 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 0 $$ Для неотрицательных чисел большему значению соответствует больший квадрат. Сравним их квадраты: $$ (\sqrt{a+b})^2 = a + b $$ $$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b $$ Найдём разность квадратов этих выражений: $$ (\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (a + b) - (a + 2\sqrt{ab} + b) = -2\sqrt{ab} $$ Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то произведение $ab \ge 0$, следовательно, $\sqrt{ab} \ge 0$, а значит: $$ -2\sqrt{ab} \le 0 $$ Отсюда следует, что: $$ (\sqrt{a+b})^2 \le (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 $$ А так как сами выражения неотрицательны: $$ \sqrt{a+b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} $$ Рассмотрим возможные случаи: 1. Если хотя бы одно из чисел равно нулю ($a = 0$ или $b = 0$), то $2\sqrt{ab} = 0$, и выражения равны: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. 2. Если оба числа положительны ($a > 0$ и $b > 0$), то $2\sqrt{ab} > 0$, и выполняется строгое неравенство: $\sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$. **Ответ:** $\sqrt{a+b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (равенство достигается при $a = 0$ или $b = 0$; если $a > 0$ и $b > 0$, то $\sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$).