ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 398

Докажем неравенство: $$ \frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} $$ Рассмотрим два возможных случая для суммы $a + b$: 1) Пусть $a + b < 0$. Тогда левая часть неравенства отрицательна: $$ \frac{a + b}{2} < 0 $$ Правая часть неравенства по определению арифметического квадратного корня неотрицательна: $$ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geqslant 0 $$ Так как любое отрицательное число меньше любого неотрицательного числа, неравенство верно при $a + b < 0$. 2) Пусть $a + b \geqslant 0$. Тогда обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат: $$ \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leqslant \left(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\right)^2 $$ $$ \frac{(a + b)^2}{4} \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2} $$ Раскроем скобки в числителе левой дроби: $$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2} $$ Умножим обе части неравенства на $4$ (так как $4 > 0$, знак неравенства сохраняется): $$ a^2 + 2ab + b^2 \leqslant 2(a^2 + b^2) $$ $$ a^2 + 2ab + b^2 \leqslant 2a^2 + 2b^2 $$ Перенесём все слагаемые из левой части в правую: $$ 0 \leqslant 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 $$ $$ 0 \leqslant a^2 - 2ab + b^2 $$ Свернём выражение в правой части по формуле квадрата разности: $$ (a - b)^2 \geqslant 0 $$ Неравенство $(a - b)^2 \geqslant 0$ верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Поскольку все выполненные преобразования обратимы при $a + b \geqslant 0$, исходное неравенство также справедливо. Таким образом, неравенство $\frac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ верно для любых чисел $a$ и $b$. Что и требовалось доказать.