ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 392

1) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$, и применим в знаменателе формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $$ Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$. 2) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $(\sqrt{11} + \sqrt{3})$: $$ \frac{2}{\sqrt{11} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{11} + \sqrt{3})}{(\sqrt{11} - \sqrt{3})(\sqrt{11} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{11} + \sqrt{3})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{11} + \sqrt{3})}{11 - 3} = \frac{2(\sqrt{11} + \sqrt{3})}{8} $$ Сократим дробь на $2$: $$ \frac{2(\sqrt{11} + \sqrt{3})}{8} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{4} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{4}$. 3) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое знаменателю выражение $(\sqrt{7} + \sqrt{5})$: $$ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} $$ В числителе применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в знаменателе вычислим разность квадратов: $$ \frac{(\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{7 - 5} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{2} $$ Вынесем общий множитель $2$ в числителе и сократим дробь: $$ \frac{2(6 + \sqrt{35})}{2} = 6 + \sqrt{35} $$ Ответ: $6 + \sqrt{35}$. 4) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $(5\sqrt{3} + 9)$: $$ \frac{5 - 4\sqrt{3}}{5\sqrt{3} - 9} = \frac{(5 - 4\sqrt{3})(5\sqrt{3} + 9)}{(5\sqrt{3} - 9)(5\sqrt{3} + 9)} = \frac{(5 - 4\sqrt{3})(5\sqrt{3} + 9)}{(5\sqrt{3})^2 - 9^2} $$ Раскроем скобки в числителе и возведём в квадрат в знаменателе: $$ (5 - 4\sqrt{3})(5\sqrt{3} + 9) = 5 \cdot 5\sqrt{3} + 5 \cdot 9 - 4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot 9 = 25\sqrt{3} + 45 - 20 \cdot 3 - 36\sqrt{3} = 45 - 60 + (25 - 36)\sqrt{3} = -15 - 11\sqrt{3} $$ $$ (5\sqrt{3})^2 - 9^2 = 25 \cdot 3 - 81 = 75 - 81 = -6 $$ Подставим полученные значения в дробь и избавимся от знака «минус» в знаменателе: $$ \frac{-15 - 11\sqrt{3}}{-6} = \frac{-(15 + 11\sqrt{3})}{-6} = \frac{15 + 11\sqrt{3}}{6} $$ Ответ: $\frac{15 + 11\sqrt{3}}{6}$.