ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 389

1) Упростим выражение: $$ \left(\sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}}\right) : \frac{a^2b}{a - b} $$ Выполним действие в скобках, приведя выражения к общему знаменателю: $$ \sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}(a + \sqrt{ab}) - ab}{a + \sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab} + ab - ab}{a + \sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab}}{a + \sqrt{ab}} $$ В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{a}$: $$ a + \sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} + \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $$ Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$. Выполним деление, умножив на взаимно обратную дробь: $$ \frac{a\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} \cdot \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a^2b} = \frac{a\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a^2b} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a\sqrt{b}}$. --- 2) Упростим выражение: $$ \left(\frac{a + \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} + \frac{a - \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}}\right) \cdot \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 + b} $$ Сложим дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 - b$: $$ \frac{(a + \sqrt{b})^2 + (a - \sqrt{b})^2}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{(a^2 + 2a\sqrt{b} + b) + (a^2 - 2a\sqrt{b} + b)}{a^2 - b} = \frac{2a^2 + 2b}{a^2 - b} = \frac{2(a^2 + b)}{a^2 - b} $$ Выполним умножение полученной дроби: $$ \frac{2(a^2 + b)}{a^2 - b} \cdot \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 + b} = \frac{2(a - \sqrt{b})}{a^2 - b} $$ Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $a^2 - b = (a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$ и сократим дробь: $$ \frac{2(a - \sqrt{b})}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{2}{a + \sqrt{b}} $$ Ответ: $\frac{2}{a + \sqrt{b}}$. --- 3) Упростим выражение: $$ \left(\frac{c - \sqrt{d}}{c + \sqrt{d}} - \frac{c + \sqrt{d}}{c - \sqrt{d}}\right) : \frac{2c\sqrt{d}}{c + \sqrt{d}} $$ Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $(c + \sqrt{d})(c - \sqrt{d}) = c^2 - d$: $$ \frac{(c - \sqrt{d})^2 - (c + \sqrt{d})^2}{(c + \sqrt{d})(c - \sqrt{d})} = \frac{(c^2 - 2c\sqrt{d} + d) - (c^2 + 2c\sqrt{d} + d)}{c^2 - d} = \frac{-4c\sqrt{d}}{c^2 - d} $$ Выполним деление, умножив на обратную дробь и разложив знаменатель $c^2 - d = (c - \sqrt{d})(c + \sqrt{d})$: $$ \frac{-4c\sqrt{d}}{(c - \sqrt{d})(c + \sqrt{d})} \cdot \frac{c + \sqrt{d}}{2c\sqrt{d}} = \frac{-4c\sqrt{d}}{2c\sqrt{d}(c - \sqrt{d})} = -\frac{2}{c - \sqrt{d}} = \frac{2}{\sqrt{d} - c} $$ Ответ: $\frac{2}{\sqrt{d} - c}$. --- 4) Упростим выражение: $$ (2 + \sqrt{b}) \left(\frac{2}{\sqrt{b} + 2} - \frac{2}{2 - \sqrt{b}} + \frac{2b}{4 - b}\right) $$ Заметим, что $4 - b = (2 - \sqrt{b})(2 + \sqrt{b})$. Приведём все дроби внутри скобок к общему знаменателю $(2 - \sqrt{b})(2 + \sqrt{b})$: $$ \frac{2(2 - \sqrt{b}) - 2(2 + \sqrt{b}) + 2b}{(2 - \sqrt{b})(2 + \sqrt{b})} = \frac{4 - 2\sqrt{b} - 4 - 2\sqrt{b} + 2b}{4 - b} = \frac{2b - 4\sqrt{b}}{4 - b} $$ Вынесем в числителе общий множитель $-2\sqrt{b}$: $$ 2b - 4\sqrt{b} = -2\sqrt{b}(2 - \sqrt{b}) $$ Тогда выражение в скобках принимает вид: $$ \frac{-2\sqrt{b}(2 - \sqrt{b})}{(2 - \sqrt{b})(2 + \sqrt{b})} = \frac{-2\sqrt{b}}{2 + \sqrt{b}} $$ Умножим полученную дробь на множитель перед скобками: $$ (2 + \sqrt{b}) \cdot \left(\frac{-2\sqrt{b}}{2 + \sqrt{b}}\right) = -2\sqrt{b} $$ Ответ: $-2\sqrt{b}$.