ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 372

Для любых положительных чисел $x$ и $y$ выполняется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши): $$\frac{x + y}{2} \geqslant \sqrt{xy}, \quad \text{откуда} \quad x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$$ В условии задачи во втором слагаемом корень относится к числителю: $\dfrac{\sqrt{b}}{a}$ (слагаемые взаимно обратны; если записать корень над всей дробью $\sqrt{\dfrac{b}{a}}$, то при $a = b = \dfrac{1}{4}$ неравенство не выполнялось бы: $\dfrac{1/4}{1/2} + 1 = 1{,}5 < 2$). Пусть $x = \dfrac{a}{\sqrt{b}}$ и $y = \dfrac{\sqrt{b}}{a}$. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, то $x > 0$ и $y > 0$. Найдем произведение этих чисел: $$x \cdot y = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{a} = 1$$ Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для чисел $x$ и $y$: $$\frac{\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{\sqrt{b}}{a}}{2} \geqslant \sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{a}}$$ Так как подкоренное выражение равно $1$: $$\frac{\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{\sqrt{b}}{a}}{2} \geqslant \sqrt{1} = 1$$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{a} \geqslant 2$$ *(Примечание: если в исходном задании оба слагаемых находились под знаком корня, то есть $\sqrt{\dfrac{a}{b}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}} \geqslant 2$, доказательство проводится точно так же, поскольку $\sqrt{\dfrac{a}{b}} \cdot \sqrt{\dfrac{b}{a}} = 1$, откуда $\sqrt{\dfrac{a}{b}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}} \geqslant 2\sqrt{1} = 2$.)* Неравенство доказано.