ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 371

1) Приведём дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ \frac{3}{2 + \sqrt{6}} + \frac{3}{2 - \sqrt{6}} = \frac{3(2 - \sqrt{6}) + 3(2 + \sqrt{6})}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} $$ Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $$ \frac{6 - 3\sqrt{6} + 6 + 3\sqrt{6}}{2^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{12}{4 - 6} = \frac{12}{-2} = -6 $$ Ответ: $-6$. 2) Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{5}{3 - \sqrt{11}} + \frac{5}{3 + \sqrt{11}} = \frac{5(3 + \sqrt{11}) + 5(3 - \sqrt{11})}{(3 - \sqrt{11})(3 + \sqrt{11})} $$ Раскроем скобки в числителе и свернём знаменатель по формуле разности квадратов: $$ \frac{15 + 5\sqrt{11} + 15 - 5\sqrt{11}}{3^2 - (\sqrt{11})^2} = \frac{30}{9 - 11} = \frac{30}{-2} = -15 $$ Ответ: $-15$. 3) Избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби, умножив числитель и знаменатель первой дроби на $(\sqrt{11} + 3)$, а второй — на $(\sqrt{11} + 2)$: $$ \frac{2}{\sqrt{11} - 3} = \frac{2(\sqrt{11} + 3)}{(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)} = \frac{2(\sqrt{11} + 3)}{(\sqrt{11})^2 - 3^2} = \frac{2(\sqrt{11} + 3)}{11 - 9} = \frac{2(\sqrt{11} + 3)}{2} = \sqrt{11} + 3 $$ $$ \frac{7}{\sqrt{11} - 2} = \frac{7(\sqrt{11} + 2)}{(\sqrt{11} - 2)(\sqrt{11} + 2)} = \frac{7(\sqrt{11} + 2)}{(\sqrt{11})^2 - 2^2} = \frac{7(\sqrt{11} + 2)}{11 - 4} = \frac{7(\sqrt{11} + 2)}{7} = \sqrt{11} + 2 $$ Выполним вычитание: $$ (\sqrt{11} + 3) - (\sqrt{11} + 2) = \sqrt{11} + 3 - \sqrt{11} - 2 = 1 $$ Ответ: $1$. 4) Освободимся от иррациональности в знаменателях дробей: $$ \frac{3}{3 + \sqrt{6}} = \frac{3(3 - \sqrt{6})}{(3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})} = \frac{3(3 - \sqrt{6})}{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{3(3 - \sqrt{6})}{9 - 6} = \frac{3(3 - \sqrt{6})}{3} = 3 - \sqrt{6} $$ $$ \frac{2}{2 + \sqrt{6}} = \frac{2(2 - \sqrt{6})}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{2(2 - \sqrt{6})}{2^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{2(2 - \sqrt{6})}{4 - 6} = \frac{2(2 - \sqrt{6})}{-2} = -(2 - \sqrt{6}) = -2 + \sqrt{6} $$ Сложим полученные выражения: $$ (3 - \sqrt{6}) + (-2 + \sqrt{6}) = 3 - \sqrt{6} - 2 + \sqrt{6} = 1 $$ Ответ: $1$. 5) Избавимся от иррациональности в знаменателях первых двух дробей: $$ \frac{3}{\sqrt{7} - 2} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{3} = \sqrt{7} + 2 $$ Для второй дроби запишем знаменатель как $(3 + \sqrt{7})$: $$ \frac{2}{\sqrt{7} + 3} = \frac{2(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{2(3 - \sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2(3 - \sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{2(3 - \sqrt{7})}{2} = 3 - \sqrt{7} $$ Подставим преобразованные дроби в исходное выражение: $$ (\sqrt{7} + 2) - (3 - \sqrt{7}) - 2\sqrt{7} = \sqrt{7} + 2 - 3 + \sqrt{7} - 2\sqrt{7} = (\sqrt{7} + \sqrt{7} - 2\sqrt{7}) + (2 - 3) = -1 $$ Ответ: $-1$.