ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 31

Упростим данное выражение: $$ \frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \left(\frac{1}{a^3} + \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a}\right) $$ Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю $a^3$: $$ \frac{1}{a^3} + \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a} = \frac{1 + 2a + a^2}{a^3} = \frac{(1+a)^2}{a^3} $$ Подставим полученный результат в исходное выражение и сократим дробь: $$ \frac{a^2}{(1+a)^2} \cdot \frac{(1+a)^2}{a^3} = \frac{a^2 \cdot (1+a)^2}{(1+a)^2 \cdot a^3} = \frac{1}{a} $$ Таким образом, при $a \neq 0$ и $a \neq -1$ значение выражения равно $\frac{1}{a}$. 1) Сравним значения выражения при $a = 235$ и $a = 785$: * При $a = 235$ значение выражения равно $\frac{1}{235}$. * При $a = 785$ значение выражения равно $\frac{1}{785}$. Так как из двух положительных дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, а $235 < 785$, то: $$ \frac{1}{235} > \frac{1}{785} $$ Значит, при $a = 235$ значение выражения больше, чем при $a = 785$. 2) Сравним значения выражения при $a = -0,8$ и $a = -\frac{5}{6}$: * Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$. Тогда при $a = -0,8$ значение выражения равно: $$ \frac{1}{-\frac{4}{5}} = -\frac{5}{4} = -1,25 $$ * При $a = -\frac{5}{6}$ значение выражения равно: $$ \frac{1}{-\frac{5}{6}} = -\frac{6}{5} = -1,2 $$ Сравним полученные числа: $$ -1,25 < -1,2 $$ Значит, при $a = -0,8$ значение выражения меньше, чем при $a = -\frac{5}{6}$. **Ответ:** 1) при $a = 235$ значение выражения больше, чем при $a = 785$; 2) при $a = -0,8$ значение выражения меньше, чем при $a = -\frac{5}{6}$.