ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин устные вопросы. параграф - 32

1. 1) Систему $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6 \end{cases} $$ можно решить: * **Способом сложения с применением формул сокращённого умножения:** На основании свойства уравнений (обе части уравнения можно умножить на одно и то же ненулевое число) умножим второе уравнение на $2$ и прибавим к первому: $$ x^2 + 2xy + y^2 = 13 + 2 \cdot (-6) \implies (x + y)^2 = 1 $$ Аналогично, вычитая из первого уравнения второе, умноженное на $2$, получим: $$ x^2 - 2xy + y^2 = 13 - 2 \cdot (-6) \implies (x - y)^2 = 25 $$ Это позволяет свести систему к более простым линейным уравнениям. * **Способом подстановки:** Выразить одну переменную через другую из второго уравнения (например, $y = -\frac{6}{x}$ при $x \neq 0$) и подставить в первое уравнение. 2) Систему $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 11, \\ x + y = -1 \end{cases} $$ можно решить: * **С помощью формулы разности квадратов и способа подстановки:** Разложить левую часть первого уравнения на множители: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Подставив значение $x + y = -1$ из второго уравнения, получим: $$ (x - y) \cdot (-1) = 11 \implies x - y = -11 $$ Затем полученную систему двух линейных уравнений решить **способом сложения** или **способом подстановки**. 3) Систему $$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 88 \end{cases} $$ можно решить: * **Способом подстановки:** Из первого линейного уравнения выразить одну переменную через другую (например, $x = y + 3$) и подставить во второе уравнение: $(y + 3)y = 88$, что приводит к квадратному уравнению относительно переменной $y$. * **С помощью теоремы, обратной теореме Виета:** Переписать первое уравнение в виде $x + (-y) = 3$, а второе — в виде $x \cdot (-y) = -88$. Тогда числа $x$ и $-y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t - 88 = 0$. --- 2. Для системы уравнений $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ xy = -12 \end{cases} $$ можно указать следующие два способа решения: * **1-й способ: Способ подстановки.** 1. Из первого уравнения выразить переменную $y$ через $x$: $$ y = 4 - x $$ 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение вместо $y$: $$ x(4 - x) = -12 $$ 3. Раскрыть скобки и решить квадратное уравнение: $$ 4x - x^2 = -12 \implies x^2 - 4x - 12 = 0 $$ 4. Найти корни квадратного уравнения ($x_1 = 6$, $x_2 = -2$), после чего вычислить соответствующие значения $y$ по формуле $y = 4 - x$. * **2-й способ: С помощью теоремы, обратной теореме Виета.** 1. Так как сумма двух чисел равна $4$ ($x + y = 4$), а их произведение равно $-12$ ($xy = -12$), то по теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 4t - 12 = 0 $$ 2. Решить данное квадратное уравнение: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $$ $$ t_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6, \quad t_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2 $$ 3. Следовательно, одно из неизвестных равно $6$, а другое равно $-2$, что даёт две пары решений: $(6; -2)$ и $(-2; 6)$.