ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 25

1) Докажем, что $\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} > 0$, если $a > 0$. Преобразуем разность дробей в левой части неравенства, приведя их к общему знаменателю: $$ \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} = \frac{(a+3) - (a+2)}{(a+2)(a+3)} = \frac{a+3-a-2}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{(a+2)(a+3)} $$ Определим знак полученного выражения при условии $a > 0$: * числитель дроби равен $1$, то есть $1 > 0$; * так как $a > 0$, то $a+2 > 0$ и $a+3 > 0$, следовательно, их произведение в знаменателе положительно: $(a+2)(a+3) > 0$. Частное двух положительных чисел положительно, значит: $$ \frac{1}{(a+2)(a+3)} > 0 $$ Следовательно, $\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} > 0$ при $a > 0$, что и требовалось доказать. 2) Докажем, что $\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} > 0$, если $a < 0$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1) - (a-2)}{(a-2)(a-1)} = \frac{a-1-a+2}{(a-2)(a-1)} = \frac{1}{(a-2)(a-1)} $$ Определим знак полученного выражения при $a < 0$: * числитель дроби равен $1 > 0$; * так как $a < 0$, то $a-2 < 0$ и $a-1 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(a-2)(a-1) > 0$. Так как числитель и знаменатель дроби положительны, то вся дробь больше нуля: $$ \frac{1}{(a-2)(a-1)} > 0 $$ Следовательно, $\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} > 0$ при $a < 0$, что и требовалось доказать. 3) Докажем, что $\frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} < 0$, если $a > 0$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} = \frac{2(a+1) - (3a+2)}{(3a+2)(a+1)} = \frac{2a+2-3a-2}{(3a+2)(a+1)} = \frac{-a}{(3a+2)(a+1)} $$ Определим знак полученного выражения при $a > 0$: * так как $a > 0$, то числитель $-a < 0$; * так как $a > 0$, то $3a+2 > 0$ и $a+1 > 0$, значит, знаменатель $(3a+2)(a+1) > 0$. Частное отрицательного и положительного чисел отрицательно: $$ \frac{-a}{(3a+2)(a+1)} < 0 $$ Следовательно, $\frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} < 0$ при $a > 0$, что и требовалось доказать. 4) Докажем, что $\frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} < 0$, если $a < 0$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} = \frac{3-2a - 3(1-a)}{(1-a)(3-2a)} = \frac{3-2a-3+3a}{(1-a)(3-2a)} = \frac{a}{(1-a)(3-2a)} $$ Определим знак полученного выражения при $a < 0$: * числитель $a < 0$ по условию; * так как $a < 0$, то $-a > 0$, откуда $1-a > 0$; * так как $a < 0$, то $-2a > 0$, откуда $3-2a > 0$; * произведение положительных множителей в знаменателе положительно: $(1-a)(3-2a) > 0$. Частное отрицательного числителя и положительного знаменателя отрицательно: $$ \frac{a}{(1-a)(3-2a)} < 0 $$ Следовательно, $\frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} < 0$ при $a < 0$, что и требовалось доказать.