ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 23

1) $\frac{x^{2}-1}{x+2}=0$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ \begin{cases} x^2 - 1 = 0, \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} $$ Решим уравнение числителя: $$ (x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -1 $$ Из условия для знаменателя находим допустимые значения переменной: $$ x \neq -2 $$ Оба найденных корня удовлетворяют условию $x \neq -2$. Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. --- 2) $\frac{x^{2}-49}{x-1}=0$ Приравняем числитель к нулю при условии, что знаменатель не равен нулю: $$ \begin{cases} x^2 - 49 = 0, \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} $$ Решим уравнение: $$ (x - 7)(x + 7) = 0 $$ $$ x_1 = 7, \quad x_2 = -7 $$ Условие для знаменателя: $$ x \neq 1 $$ Оба значения удовлетворяют этому условию, так как ни одно из них не равно $1$. Ответ: $x_1 = -7$, $x_2 = 7$. --- 3) $\frac{3x^{2}+x}{x-5}=0$ Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $$ \begin{cases} 3x^2 + x = 0, \\ x - 5 \neq 0 \end{cases} $$ Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $$ x(3x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$. Условие для знаменателя: $$ x \neq 5 $$ Оба корня не равны $5$, следовательно, оба являются решениями уравнения. Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = 0$. --- 4) $\frac{x-5x^{2}}{x+3}=0$ Составим систему: $$ \begin{cases} x - 5x^2 = 0, \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $$ Вынесем общий множитель $x$ в числителе: $$ x(1 - 5x) = 0 $$ Отсюда: $x = 0$ или $1 - 5x = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}$. Условие для знаменателя: $$ x \neq -3 $$ Проверим корни: $0 \neq -3$ и $\frac{1}{5} \neq -3$. Оба значения являются корнями уравнения. Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{5}$.