ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 27

1) Упростим выражение в левой части неравенства: $$ \frac{a-1}{a+1} : \frac{1}{a^2 + 2a + 1} + 1 $$ Применим формулу квадрата суммы в знаменателе второй дроби: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$. Заменим деление на дробь умножением на взаимно обратную дробь: $$ \frac{a-1}{a+1} \cdot (a+1)^2 + 1 $$ Так как по условию $a > 0$, то $a + 1 \neq 0$, и дробь можно сократить на $(a+1)$: $$ (a-1)(a+1) + 1 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ a^2 - 1 + 1 = a^2 $$ По условию $a > 0$, следовательно, его квадрат строго положителен: $a^2 > 0$. Значит, $\frac{a-1}{a+1} : \frac{1}{a^2 + 2a + 1} + 1 > 0$ при $a > 0$, что и требовалось доказать. 2) Упростим выражение в левой части неравенства: $$ \frac{3a^2 + 4a + 1}{(a+1)^2} - \frac{a-1}{a+1} $$ Разложим на множители числитель первой дроби способом группировки: $$ 3a^2 + 4a + 1 = 3a^2 + 3a + a + 1 = 3a(a + 1) + (a + 1) = (3a + 1)(a + 1) $$ Подставим полученное разложение: $$ \frac{(3a+1)(a+1)}{(a+1)^2} - \frac{a-1}{a+1} $$ Так как $a \neq -1$, то $a + 1 \neq 0$, поэтому первую дробь можно сократить на $(a+1)$: $$ \frac{3a+1}{a+1} - \frac{a-1}{a+1} $$ Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $$ \frac{(3a+1) - (a-1)}{a+1} = \frac{3a + 1 - a + 1}{a+1} = \frac{2a + 2}{a+1} $$ Вынесем общий множитель $2$ за скобки в числителе: $$ \frac{2(a+1)}{a+1} = 2 $$ Так как $2 > 0$, то исходное выражение положительно при всех допустимых значениях $a$: $$ \frac{3a^2 + 4a + 1}{(a+1)^2} - \frac{a-1}{a+1} > 0 \text{ при } a \neq -1 $$ Неравенство доказано.