ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 192

1) Докажем, что $2b - a < 3a - 2b$ тогда и только тогда, когда $a > b$. Выполним равносильные преобразования неравенства: $$ 2b - a < 3a - 2b $$ Перенесем слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а слагаемые с переменной $b$ — в левую часть, изменив их знаки на противоположные: $$ 2b + 2b < 3a + a $$ Приведем подобные члены в обеих частях неравенства: $$ 4b < 4a $$ Разделим обе части неравенства на положительное число $4$, при этом знак неравенства не изменится: $$ b < a $$ что равносильно записи: $$ a > b $$ Так как все шаги являются равносильными преобразованиями, неравенство $2b - a < 3a - 2b$ справедливо тогда и только тогда, когда $a > b$. Утверждение доказано. 2) Докажем, что $a + 2b > 4a - b$ тогда и только тогда, когда $a < b$. Выполним равносильные преобразования неравенства: $$ a + 2b > 4a - b $$ Перенесем члены с переменной $a$ в левую часть, а члены с переменной $b$ — в правую часть: $$ a - 4a > -b - 2b $$ Приведем подобные члены: $$ -3a > -3b $$ Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-3$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ a < b $$ Поскольку все выполненные преобразования равносильны, неравенство $a + 2b > 4a - b$ выполняется тогда и только тогда, когда $a < b$. Утверждение доказано. 3) Докажем, что $a - 2b > 3a + 2b$ тогда и только тогда, когда $a + 2b < 0$. Выполним равносильные преобразования исходного неравенства: $$ a - 2b > 3a + 2b $$ Перенесем все слагаемые из левой части в правую часть, меняя их знаки на противоположные: $$ 0 > 3a - a + 2b + 2b $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 0 > 2a + 4b $$ Запишем полученное неравенство в привычном виде: $$ 2a + 4b < 0 $$ Разделим обе части неравенства на положительное число $2$: $$ a + 2b < 0 $$ Все шаги преобразования взаимно обратимы (равносильны), следовательно, неравенство $a - 2b > 3a + 2b$ выполняется тогда и только тогда, когда $a + 2b < 0$. Утверждение доказано. 4) Докажем, что $b - 2a < 4a + 3b$ тогда и только тогда, когда $3a + b > 0$. Выполним равносильные преобразования неравенства: $$ b - 2a < 4a + 3b $$ Перенесем все члены из левой части неравенства в правую часть, изменив их знаки: $$ 0 < 4a + 2a + 3b - b $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 0 < 6a + 2b $$ Перепишем неравенство слева направо: $$ 6a + 2b > 0 $$ Разделим обе части неравенства на положительное число $2$: $$ 3a + b > 0 $$ Так как все преобразования равносильны, неравенство $b - 2a < 4a + 3b$ выполняется тогда и только тогда, когда $3a + b > 0$. Утверждение доказано.