ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 173

**1)** Доказать, что $9x^2 + 1 \geq 6x$ при любом $x$. Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ (9x^2 + 1) - 6x = 9x^2 - 6x + 1 $$ Свернем полученное выражение по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(3x - 1)^2 \geq 0$ при любом значении $x$. Значит, разность левой и правой частей неотрицательна, следовательно: $$ 9x^2 + 1 \geq 6x \text{ при любом } x $$ Неравенство доказано. --- **2)** Доказать, что $x + \frac{1}{16x} \geq \frac{1}{2}$ при $x > 0$. Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ x + \frac{1}{16x} - \frac{1}{2} $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю $16x$: $$ \frac{x \cdot 16x + 1 - 8x}{16x} = \frac{16x^2 - 8x + 1}{16x} $$ Свернем числитель дроби по формуле квадрата разности: $$ \frac{(4x - 1)^2}{16x} $$ Оценим знак полученной дроби при $x > 0$: - числитель $(4x - 1)^2 \geq 0$ как квадрат выражения при любом $x$; - знаменатель $16x > 0$, так как по условию $x > 0$. Поскольку числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, вся дробь неотрицательна: $$ \frac{(4x - 1)^2}{16x} \geq 0 $$ Следовательно, разность неотрицательна, то есть: $$ x + \frac{1}{16x} \geq \frac{1}{2} \text{ при } x > 0 $$ Неравенство доказано. --- **3)** Доказать, что $\frac{x}{2} + 5 \leq -\frac{25}{2x}$ при $x < 0$. Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ \left(\frac{x}{2} + 5\right) - \left(-\frac{25}{2x}\right) = \frac{x}{2} + 5 + \frac{25}{2x} $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю $2x$: $$ \frac{x \cdot x + 5 \cdot 2x + 25}{2x} = \frac{x^2 + 10x + 25}{2x} $$ Свернем числитель дроби по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ \frac{(x + 5)^2}{2x} $$ Оценим знак полученной дроби при $x < 0$: - числитель $(x + 5)^2 \geq 0$ при любом $x$; - знаменатель $2x < 0$, так как по условию $x < 0$. При делении неотрицательного числа на отрицательное получается неположительное число: $$ \frac{(x + 5)^2}{2x} \leq 0 $$ Разность левой и правой частей меньше или равна нулю, следовательно: $$ \frac{x}{2} + 5 \leq -\frac{25}{2x} \text{ при } x < 0 $$ Неравенство доказано. --- **4)** Доказать, что $\frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} > \frac{1}{3-x}$ при $x > 3$. Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ \frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} - \frac{1}{3-x} $$ Учтем, что $3 - x = -(x - 3)$, поэтому $-\frac{1}{3-x} = +\frac{1}{x-3}$: $$ \frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} + \frac{1}{x-3} = \frac{(2x-1)(2x+1) + 1}{x-3} $$ Раскроем скобки в числителе по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ \frac{(4x^2 - 1) + 1}{x-3} = \frac{4x^2}{x-3} $$ Оценим знак полученной дроби при $x > 3$: - числитель $4x^2 > 0$, так как $x > 3$ (число $x$ положительно и не равно нулю); - знаменатель $x - 3 > 0$, так как $x > 3$. Частное двух положительных чисел положительно: $$ \frac{4x^2}{x-3} > 0 $$ Разность левой и правой частей строго больше нуля, следовательно: $$ \frac{(2x-1)(2x+1)}{x-3} > \frac{1}{3-x} \text{ при } x > 3 $$ Неравенство доказано.