ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 169

Для доказательства двойного неравенства $||a| - |b|| \le |a + b| \le |a| + |b|$ докажем отдельно правую и левую его части. **1. Докажем неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ (неравенство треугольника).** По определению модуля для любых действительных чисел $a$ и $b$ верны неравенства: $$ -|a| \le a \le |a| $$ $$ -|b| \le b \le |b| $$ Сложим эти неравенства почленно: $$ -(|a| + |b|) \le a + b \le |a| + |b| $$ Так как для любого числа $x$ и неотрицательного числа $c$ из условия $-c \le x \le c$ следует, что $|x| \le c$, получаем: $$ |a + b| \le |a| + |b| $$ Правая часть доказана. **2. Докажем неравенство $||a| - |b|| \le |a + b|$.** Представим число $a$ в виде $a = (a + b) - b$. Применим к нему уже доказанное неравенство для модуля суммы: $$ |a| = |(a + b) + (-b)| \le |a + b| + |-b| $$ Так как $|-b| = |b|$, имеем: $$ |a| \le |a + b| + |b| $$ Вычтем $|b|$ из обеих частей неравенства: $$ |a| - |b| \le |a + b| $$ Аналогично представим число $b$ в виде $b = (a + b) - a$: $$ |b| = |(a + b) + (-a)| \le |a + b| + |-a| = |a + b| + |a| $$ Вычтем $|a|$ из обеих частей неравенства: $$ |b| - |a| \le |a + b| $$ Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$ -(|a| - |b|) \le |a + b| \implies |a| - |b| \ge -|a + b| $$ Объединяя два полученных неравенства: $$ -|a + b| \le |a| - |b| \le |a + b| $$ По свойству модуля из этого двойного неравенства следует: $$ ||a| - |b|| \le |a + b| $$ Левая часть доказана. **3. Итог.** Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем: $$ ||a| - |b|| \le |a + b| \le |a| + |b| $$ Неравенство полностью доказано для любых чисел $a$ и $b$.