ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин вводные упражнения. параграфы - 12

### 1. Решить неравенство: 1) $|x| > 5$ Неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной прямой строго больше 5. Получаем совокупность двух неравенств: $$ x < -5 \quad \text{или} \quad x > 5 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$. 2) $|x| \geq -5$ По определению модуль любого действительного числа неотрицателен, то есть $|x| \geq 0$ при всех $x$. Поскольку любое неотрицательное число больше $-5$, неравенство справедливо при любом значении $x$. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$ ($x$ — любое действительное число). 3) $|x| \leq 2$ Неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля не превосходит 2: $$ -2 \leq x \leq 2 $$ **Ответ:** $x \in [-2; 2]$. 4) $|x| < -2$ Так как модуль числа всегда неотрицателен ($|x| \geq 0$), он не может быть меньше отрицательного числа $-2$. **Ответ:** решений нет. --- ### 2. Записать в виде двойного неравенства: 1) $|x| < 12$ По определению и геометрическому смыслу модуля: $$ -12 < x < 12 $$ 2) $|x| \leq 8$ По определению и геометрическому смыслу модуля: $$ -8 \leq x \leq 8 $$ 3) $-9 \leq x < 3$ Данная запись уже является двойным неравенством: $$ -9 \leq x < 3 $$ 4) $x + 4 < 1$ Вычтем 4 из обеих частей неравенства: $$ x < 1 - 4 \iff x < -3 $$ Неравенство имеет только одну границу (сверху). Если записать его с указанием нижней границы с помощью символа бесконечности: $$ -\infty < x < -3 $$ --- ### 3. Решить неравенство: 1) $|x + 5| > 4$ Неравенство распадается на два случая: $$ x + 5 < -4 \quad \text{или} \quad x + 5 > 4 $$ $$ x < -4 - 5 \quad \text{или} \quad x > 4 - 5 $$ $$ x < -9 \quad \text{или} \quad x > -1 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -9) \cup (-1; +\infty)$. 2) $|x - 10| \geq 3$ Неравенство распадается на два случая: $$ x - 10 \leq -3 \quad \text{или} \quad x - 10 \geq 3 $$ $$ x \leq -3 + 10 \quad \text{или} \quad x \geq 3 + 10 $$ $$ x \leq 7 \quad \text{или} \quad x \geq 13 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 7] \cup [13; +\infty)$. 3) $-1 \leq x < 7$ Неравенство уже решено относительно $x$. **Ответ:** $x \in [-1; 7)$. 4) $x + 3 < 2$ Перенесём 3 в правую часть с противоположным знаком: $$ x < 2 - 3 $$ $$ x < -1 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -1)$. --- ### 4. Определение дробей, которые не могут быть записаны в виде конечной десятичной дроби Несократимая дробь вида $\frac{p}{q}$ может быть представлена в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда разложение её знаменателя на простые множители содержит только числа $2$ и/или $5$. Если среди простых множителей знаменателя несократимой дроби есть другие простые числа, то её нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. Проверим каждую дробь: 1. $\frac{2}{5}$ — несократима, знаменатель равен $5$ (только множитель 5) $\Rightarrow$ представляется конечной десятичной дробью. 2. $\frac{5}{7}$ — несократима, знаменатель равен $7 \neq 2, 5$ $\Rightarrow$ **не может** быть записана в виде конечной десятичной дроби. 3. $\frac{3}{15}$ — сократим дробь на 3: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. Знаменатель равен $5$ $\Rightarrow$ представляется конечной десятичной дробью. 4. $\frac{7}{20}$ — несократима, знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5$ (содержит только 2 и 5) $\Rightarrow$ представляется конечной десятичной дробью. 5. $\frac{9}{30}$ — сократим дробь на 3: $\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$. Знаменатель $10 = 2 \cdot 5$ $\Rightarrow$ представляется конечной десятичной дробью. 6. $\frac{4}{75}$ — несократима, знаменатель $75 = 3 \cdot 5^2$. В разложении присутствует простой множитель $3 \neq 2, 5$ $\Rightarrow$ **не может** быть записана в виде конечной десятичной дроби. 7. $\frac{1}{125}$ — несократима, знаменатель $125 = 5^3$ (содержит только 5) $\Rightarrow$ представляется конечной десятичной дробью. **Ответ:** $\frac{5}{7}$ и $\frac{4}{75}$. --- ### 5. Записать в виде десятичной дроби: Приведём дроби к знаменателям $100$ или $1000$: 1) $\frac{11}{50} = \frac{11 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{22}{100} = 0,22$ 2) $\frac{3}{125} = \frac{3 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{24}{1000} = 0,024$ 3) $\frac{24}{25} = \frac{24 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{96}{100} = 0,96$ 4) $\frac{7}{250} = \frac{7 \cdot 4}{250 \cdot 4} = \frac{28}{1000} = 0,028$ --- ### 6. Записать в виде десятичной периодической дроби: Выполним деление числителя на знаменатель: 1) $\frac{2}{3}$ Разделим 2 на 3 уголком: $2 : 3 = 0,666\dots = 0,(6)$. **Ответ:** $0,(6)$. 2) $\frac{5}{6}$ Разделим 5 на 6 уголком: $5 : 6 = 0,8333\dots = 0,8(3)$. **Ответ:** $0,8(3)$. 3) $\frac{3}{7}$ Разделим 3 на 7 уголком: $3 : 7 = 0,428571428571\dots = 0,(428571)$. **Ответ:** $0,(428571)$.