ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 757

**Ответ:** Радиус большей окружности равен **$3r$**. --- ### Объяснение и пошаговое решение: 1. **Положение центров окружностей:** Центр любой окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Пусть вершина угла — точка $A$, центр меньшей окружности — $O_1$, а центр большей окружности — $O_2$. Биссектриса делит угол $60^\circ$ пополам, следовательно, угол между биссектрисой и стороной угла равен: $$\angle O_1 A K_1 = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ *(где $K_1$ и $K_2$ — точки касания окружностей с одной из сторон угла).* 2. **Расстояния от вершины угла до центров окружностей:** Радиусы, проведённые в точки касания ($O_1K_1 = r$ и $O_2K_2 = R$), перпендикулярны стороне угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1K_1$: * $\angle AK_1O_1 = 90^\circ$; * $\angle K_1AO_1 = 30^\circ$; * Катет $O_1K_1 = r$ лежит напротив угла $30^\circ$, значит, гипотенуза в два раза длиннее этого катета: $$AO_1 = 2 \cdot O_1K_1 = 2r$$ Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_2K_2$ для большей окружности: $$AO_2 = 2 \cdot O_2K_2 = 2R$$ 3. **Расстояние между центрами окружностей:** * С одной стороны, так как центры лежат на одном луче (биссектрисе), расстояние между ними равно разности отрезков: $$O_1O_2 = AO_2 - AO_1 = 2R - 2r$$ * С другой стороны, поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $$O_1O_2 = R + r$$ 4. **Составление и решение уравнения:** Приравняем оба выражения для расстояния $O_1O_2$: $$2R - 2r = R + r$$ Перенесём слагаемые с $R$ в левую часть, а с $r$ — в правую: $$2R - R = r + 2r$$ $$R = 3r$$