ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 759

### Ответ Утверждение доказано: если расстояние между центрами двух окружностей $d$ больше суммы их радиусов ($d > r_1 + r_2$), то окружности не имеют общих точек, и каждая из них лежит вне другой. --- ### Доказательство **Дано:** * Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. * Расстояние между центрами $d = O_1O_2 > r_1 + r_2$. **Требуется доказать:** 1. Окружности не имеют общих точек. 2. Одна окружность лежит вне другой окружности. --- #### 1. Доказательство отсутствия общих точек (методом от противного) 1. Предположим, что окружности имеют хотя бы одну общую точку $M$. 2. Так как точка $M$ принадлежит первой окружности, расстояние от неё до центра $O_1$ равно $r_1$ ($O_1M = r_1$). 3. Так как точка $M$ принадлежит и второй окружности, расстояние от неё до центра $O_2$ равно $r_2$ ($O_2M = r_2$). 4. По неравенству треугольника (или свойству взаимного расположения трёх точек), для любых точек $O_1$, $O_2$ и $M$ длина отрезка $O_1O_2$ не может превосходить сумму длин отрезков $O_1M$ и $O_2M$: $$O_1O_2 \le O_1M + O_2M$$ 5. Подставив расстояния, получим: $$d \le r_1 + r_2$$ 6. Полученное неравенство противоречит условию задачи, в котором дано, что $d > r_1 + r_2$. 7. Значит, наше предположение было неверным: **окружности не имеют общих точек**. --- #### 2. Доказательство того, что одна окружность лежит вне другой Окружность лежит вне другой, если расстояние от любой её точки до центра другой окружности строго больше радиуса этой второй окружности. 1. Возьмём произвольную точку $X$, лежащую на второй окружности (то есть $O_2X = r_2$). 2. По неравенству треугольника для точек $O_1$, $O_2$ и $X$: $$O_1O_2 \le O_1X + O_2X \implies O_1X \ge O_1O_2 - O_2X$$ 3. Так как по условию $O_1O_2 > r_1 + r_2$, а $O_2X = r_2$, подставим эти значения: $$O_1X > (r_1 + r_2) - r_2 = r_1$$ 4. Поскольку для любой точки $X$ второй окружности расстояние $O_1X > r_1$, все точки второй окружности лежат вне круга, ограниченного первой окружностью. 5. Аналогично доказывается, что любая точка первой окружности лежит вне круга, ограниченного второй окружностью. Следовательно, **одна окружность лежит вне другой**. *Утверждение полностью доказано.*