ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 748

### Итоговый ответ * **а)** Утверждение **доказано**: отрезок $AB$ является радиусом окружности с центром $B$, и прямая $AD \perp AB$, следовательно, по признаку касательной прямая $AD$ касается данной окружности в точке $A$. * **б)** Утверждение **доказано**: отрезок $AD$ является радиусом окружности с центром $A$, и прямая $CD \perp AD$, следовательно, по признаку касательной прямая $CD$ касается данной окружности в точке $D$. * **в)** Утверждение **доказано**: радиус $BC$ не перпендикулярен прямой $CD$ (иначе фигура являлась бы прямоугольником, а не трапецией), а расстояние от центра $B$ до прямой $CD$ строго меньше радиуса $BC$, следовательно, прямая $CD$ пересекает окружность в двух точках (является секущей) и не может быть касательной. --- ### Доказательство В прямоугольной трапеции $ABCD$ углы $\angle A = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$. Так как прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны одной и той же прямой $AD$, то основаниями трапеции являются параллельные стороны $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$), а отрезок $AD$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. --- #### а) Доказательство того, что прямая $AD$ — касательная к окружности с центром $B$ радиуса $AB$ 1. Точка $A$ лежит на прямой $AD$ и удалена от центра $B$ на расстояние $AB$, то есть лежит на окружности. 2. По условию $\angle A = 90^\circ$, значит, радиус $BA$ перпендикулярен прямой $AD$ ($BA \perp AD$). 3. **По признаку касательной:** если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной. 4. Следовательно, прямая $AD$ является касательной к данной окружности в точке $A$. --- #### б) Доказательство того, что прямая $CD$ — касательная к окружности с центром $A$ радиуса $AD$ 1. Точка $D$ лежит на прямой $CD$ и удалена от центра $A$ на расстояние $AD$, то есть принадлежит окружности. 2. По условию $\angle D = 90^\circ$, значит, радиус $AD$ перпендикулярен прямой $CD$ ($AD \perp CD$). 3. **По признаку касательной:** так как прямая $CD$ проходит через конец радиуса $AD$ и перпендикулярна ему, она касается окружности в точке $D$. --- #### в) Доказательство того, что прямая $CD$ не является касательной к окружности с центром $B$ радиуса $BC$ 1. Прямая $CD$ содержит точку $C$, которая лежит на окружности, так как расстояние от центра $B$ до точки $C$ равно радиусу $R = BC$. 2. Чтобы прямая $CD$ была касательной в точке $C$, радиус $BC$ должен быть перпендикулярен прямой $CD$ (по свойству касательной). 3. Если бы $BC \perp CD$, то четырёхугольник $ABCD$ имел бы все четыре прямых угла ($\angle A = \angle D = \angle C = 90^\circ \implies \angle B = 90^\circ$) и являлся бы прямоугольником. Но по условию $ABCD$ — трапеция (её непараллельные стороны $AD$ и $BC$ не могут быть одновременно перпендикулярны основаниям). Значит, $\angle C \neq 90^\circ$, то есть $BC$ не перпендикулярен $CD$. 4. Опустим из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $CD$. Длина $BH$ равна расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CD$, то есть $BH = AD$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ гипотенуза $BC$ длиннее катета $BH$ ($BC > BH$). 5. Таким образом, расстояние $d = BH$ от центра $B$ до прямой $CD$ строго меньше радиуса $R = BC$ ($d < R$). 6. Так как расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, прямая $CD$ имеет с окружностью две общие точки (является секущей) и **не является касательной**.