ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 746

**Доказательство:** Требуемое равенство $\angle AMC = 3\angle BMC$ доказано. --- ### **Подробное объяснение и ход доказательства:** 1. **Свойство отрезков касательных:** По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: * Луч $MO$ является биссектрисой угла $AMB$. * Обозначим $\angle BMO = \alpha$. Тогда $\angle AMO = \angle BMO = \alpha$, а весь угол $\angle AMB = 2\alpha$. * Радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OB \perp MB$, то есть $\angle MBO = 90^\circ$. 2. **Свойство симметрии:** По условию точка $C$ симметрична точке $O$ относительно точки $B$. Это означает, что: * Точки $O, B, C$ лежат на одной прямой; * Точка $B$ является серединой отрезка $OC$, следовательно, $OB = BC$. 3. **Рассмотрение треугольников $\triangle MBO$ и $\triangle MBC$:** * Так как точки $O, B, C$ лежат на одной прямой и $MB \perp OB$, то $MB \perp BC$, значит, $\angle MBC = 90^\circ$. * Прямоугольные треугольники $\triangle MBO$ и $\triangle MBC$ равны по двум катетам ($MB$ — общий катет, $OB = BC$). * Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $$\angle BMC = \angle BMO = \alpha$$ 4. **Вычисление угла $\angle AMC$:** Луч $MB$ проходит между сторонами угла $\angle AMC$, поэтому: $$\angle AMC = \angle AMB + \angle BMC$$ Подставим выраженные через $\alpha$ значения: $$\angle AMC = 2\alpha + \alpha = 3\alpha$$ 5. **Итог:** Так как $\angle BMC = \alpha$, а $\angle AMC = 3\alpha$, получаем: $$\angle AMC = 3\angle BMC$$ *Что и требовалось доказать.*