ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 747

### Ответ: Утверждение доказано: так как прямые $AA_1$, $OK$ (где $K$ — точка касания, а $O$ — центр окружности) и $BB_1$ параллельны друг другу, а центр $O$ делит диаметр $AB$ пополам, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии трапеции $AA_1B_1B$) точка $K$ делит отрезок $A_1B_1$ пополам, то есть $A_1K = KB_1$. --- ### Доказательство и объяснение: **Дано:** * Окружность с центром $O$ и диаметром $AB$. * Прямая $l$ — касательная к окружности в точке $K$, причём $l$ не перпендикулярна $AB$. * $AA_1 \perp l$ ($A_1 \in l$), $BB_1 \perp l$ ($B_1 \in l$). **Доказать:** * Точка $K$ — середина отрезка $A_1B_1$ (то есть $A_1K = KB_1$). --- **Ход доказательства:** 1. **Используем свойство касательной:** Проведём радиус $OK$ в точку касания $K$. По теореме о свойстве касательной к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $$OK \perp l$$ 2. **Определим взаимное расположение прямых:** По условию задачи: * $AA_1 \perp l$ * $BB_1 \perp l$ Если две или более прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно: $$AA_1 \parallel OK \parallel BB_1$$ 3. **Рассмотрим получившуюся фигуру:** * Так как $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 \perp A_1B_1$, четырёхугольник $AA_1B_1B$ является прямоугольной трапецией (или параллелограммом в частном случае, если касательная параллельна диаметру). * Отрезок $AB$ — диаметр окружности, поэтому центр окружности $O$ является его серединой ($AO = OB$). 4. **Применим теорему Фалеса (или свойство средней линии трапеции):** * **По теореме Фалеса:** параллельные прямые $AA_1$, $OK$ и $BB_1$ высекают на одной секущей (прямой $AB$) равные отрезки ($AO = OB$). Следовательно, они высекают равные отрезки и на другой секущей (прямой $l$), то есть $A_1K = KB_1$. * **Через среднюю линию трапеции:** отрезок $OK$ проходит через середину боковой стороны $AB$ трапеции $AA_1B_1B$ параллельно её основаниям $AA_1$ и $BB_1$. Значит, $OK$ — средняя линия этой трапеции, и она делит вторую боковую сторону $A_1B_1$ пополам. Таким образом, точка касания $K$ является серединой отрезка $A_1B_1$, что и требовалось доказать.