ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 745

**Ответ:** $AB = 12\sqrt{3}\text{ см}$ (или приблизительно $20{,}78\text{ см}$). --- ### **Решение:** **Дано:** * Окружность с центром в точке $O$; * Радиус $r = OB = 12\text{ см}$; * Прямая $AB$ — касательная к окружности в точке $B$; * $\angle AOB = 60^\circ$. **Найти:** $AB$. --- ### **Объяснение:** 1. **Свойство касательной к окружности:** Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $$OB \perp AB$$ Следовательно, треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ABO = 90^\circ$. 2. **Нахождение катета $AB$:** * **Способ через тригонометрию:** В прямоугольном треугольнике $\triangle ABO$ тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$\operatorname{tg}(\angle AOB) = \frac{AB}{OB}$$ Подставим известные значения: $$\operatorname{tg}(60^\circ) = \frac{AB}{12}$$ Так как $\operatorname{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем: $$AB = 12 \cdot \sqrt{3}\text{ см}$$ * **Способ через свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора:** Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому: $$\angle OAB = 90^\circ - \angle AOB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$ Катет $OB$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $OA$: $$OA = 2 \cdot OB = 2 \cdot 12 = 24\text{ см}$$ По теореме Пифагора ($OA^2 = OB^2 + AB^2$): $$AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}\text{ см}$$