ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.92

1) Выполним действия по порядку: сначала сложение и вычитание в скобках, затем деление. В первых скобках приведем слагаемые к общему знаменателю $(a + 1)$: $$ \frac{a}{a+1} + 1 = \frac{a + (a + 1)}{a+1} = \frac{2a+1}{a+1} $$ Во вторых скобках приведем к общему знаменателю $(1 - a^2)$ и применим формулу разности квадратов: $$ 1 - \frac{3a^2}{1-a^2} = \frac{1 - a^2 - 3a^2}{1-a^2} = \frac{1 - 4a^2}{1-a^2} = \frac{(1-2a)(1+2a)}{(1-a)(1+a)} $$ Выполним деление, заменив его умножением на взаимно обратную дробь, и сократим одинаковые множители, учитывая, что $2a + 1 = 1 + 2a$ и $a + 1 = 1 + a$: $$ \frac{2a+1}{a+1} : \frac{(1-2a)(1+2a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{(1-a)(1+a)}{(1-2a)(1+2a)} = \frac{1-a}{1-2a} $$ Ответ: $\frac{1-a}{1-2a}$. --- 2) Выполним вычитание дробей в скобках, используя общий знаменатель $(2m-1)(2m+1)$: $$ \frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} $$ Раскроем скобки в числителе по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $$ \frac{(4m^2 + 4m + 1) - (4m^2 - 4m + 1)}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 4m - 1}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} $$ В делителе вынесем общий множитель $5$ в знаменателе: $$ \frac{4m}{10m-5} = \frac{4m}{5(2m-1)} $$ Выполним деление: $$ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} : \frac{4m}{5(2m-1)} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m} $$ Сократим дробь на $4m$ и $(2m-1)$: $$ \frac{2 \cdot 5}{2m+1} = \frac{10}{2m+1} $$ Ответ: $\frac{10}{2m+1}$. --- 3) Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $(x-a)(x+a)$: $$ \frac{a}{x-a} - \frac{a}{x+a} = \frac{a(x+a) - a(x-a)}{(x-a)(x+a)} = \frac{ax + a^2 - ax + a^2}{(x-a)(x+a)} = \frac{2a^2}{(x-a)(x+a)} $$ Числитель второй дроби свернем по формуле квадрата суммы: $$ x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2 $$ Выполним умножение дробей и сократим на $2a^2$ и $(x+a)$: $$ \frac{2a^2}{(x-a)(x+a)} \cdot \frac{(x+a)^2}{2a^2} = \frac{x+a}{x-a} $$ Ответ: $\frac{x+a}{x-a}$. --- 4) Приведем дроби в первых скобках к общему знаменателю $xy^2$: $$ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 \cdot x + y \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^3 + y^3}{xy^2} $$ Разложим числитель по формуле суммы кубов: $$ \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{xy^2} $$ Преобразуем выражение во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy^2$: $$ \frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x - 1 \cdot xy + 1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2} $$ Выполним деление: $$ \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{xy^2} : \frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2} = \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2 - xy + y^2} $$ Сократим дробь на $xy^2$ и $(x^2 - xy + y^2)$: $$ x+y $$ Ответ: $x+y$.