ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.86

Пусть $a + \frac{1}{a} = k$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$). **1. Докажем, что число $a^2 + \frac{1}{a^2}$ является целым.** Применим формулу квадрата суммы к выражению $a + \frac{1}{a}$: $$ \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \left(\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} $$ Выразим отсюда сумму квадратов: $$ a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 - 2 $$ Так как $a + \frac{1}{a} = k$, подставим $k$ в равенство: $$ a^2 + \frac{1}{a^2} = k^2 - 2 $$ Так как $k$ — целое число, то $k^2$ — целое число, а разность целых чисел $k^2 - 2$ также является целым числом. Значит, число $a^2 + \frac{1}{a^2}$ — целое. --- **2. Докажем, что число $a^3 + \frac{1}{a^3}$ является целым.** Воспользуемся формулой суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}\right) = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 + \frac{1}{a^2} - 1\right) $$ Подставим известные значения: $a + \frac{1}{a} = k$ и $a^2 + \frac{1}{a^2} = k^2 - 2$: $$ a^3 + \frac{1}{a^3} = k \cdot (k^2 - 2 - 1) = k(k^2 - 3) $$ Так как $k$ — целое число, то $k^2 - 3$ — также целое число. Произведение двух целых чисел $k$ и $(k^2 - 3)$ является целым числом. Значит, число $a^3 + \frac{1}{a^3}$ — целое. Что и требовалось доказать.