ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.104

**1)** Докажем тождество: $$ \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} $$ Преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства. Приведём дроби к общему знаменателю $2(a-b)(a+b) = 2(a^2-b^2)$: $$ \text{ЛЧ} = \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} $$ Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ \text{ЛЧ} = \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{2(a^2-b^2)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{2(a^2-b^2)} = \frac{4ab}{2(a^2-b^2)} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $$ Преобразуем правую часть (ПЧ) равенства. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, и приведём дроби к общему знаменателю: $$ \text{ПЧ} = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} = \frac{b(a+b) - (b^2-ab)}{a^2-b^2} $$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$ \text{ПЧ} = \frac{ab + b^2 - b^2 + ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $$ Так как $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ} = \frac{2ab}{a^2-b^2}$, тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{a^2b}{a^2 + b^2} \cdot \left( \frac{a}{ab + b^2} + \frac{b}{a^2 + ab} \right) = \frac{ab}{a^2 - b^2} $$ Преобразуем левую часть равенства по действиям. 1. Выполним сложение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $$ \frac{a}{ab + b^2} + \frac{b}{a^2 + ab} = \frac{a}{b(a+b)} + \frac{b}{a(a+b)} $$ Общий знаменатель равен $ab(a+b)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $b$: $$ \frac{a \cdot a + b \cdot b}{ab(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{ab(a+b)} $$ 2. Выполним умножение: $$ \frac{a^2b}{a^2 + b^2} \cdot \frac{a^2 + b^2}{ab(a+b)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(a^2 + b^2)$, а затем на $ab$: $$ \frac{a^2b \cdot (a^2 + b^2)}{(a^2 + b^2) \cdot ab(a+b)} = \frac{a^2b}{ab(a+b)} = \frac{a}{a+b} $$ 3. Выполним вычитание: $$ \frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{a}{a+b} $$ Так как $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, приведём дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$: $$ \frac{a^2 - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - a^2 + ab}{a^2 - b^2} = \frac{ab}{a^2 - b^2} $$ Левая часть выражения равна правой части: $$ \frac{ab}{a^2 - b^2} = \frac{ab}{a^2 - b^2} $$ Тождество доказано.