ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.119

Рассмотрим разность выражений $(n^3 + m^3 + k^3)$ и $(n + m + k)$: $$ (n^3 + m^3 + k^3) - (n + m + k) = (n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k) $$ Исследуем выражение вида $x^3 - x$ для любого натурального числа $x$. Разложим его на множители: $$ x^3 - x = x(x^2 - 1) = (x - 1)x(x + 1) $$ Выражение $(x - 1)x(x + 1)$ представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел: 1. Среди двух последовательных чисел хотя бы одно является чётным, поэтому произведение делится на $2$. 2. Среди трёх последовательных чисел ровно одно делится на $3$, поэтому произведение делится на $3$. Так как числа $2$ и $3$ взаимно простые, произведение трёх последовательных целых чисел делится на $2 \cdot 3 = 6$. Следовательно, при любом натуральном $x$ разность $x^3 - x$ кратна $6$. Отсюда получаем, что каждое из слагаемых делится на $6$: - $(n^3 - n)$ делится на $6$; - $(m^3 - m)$ делится на $6$; - $(k^3 - k)$ делится на $6$. Значит, и их сумма делится на $6$: $$ (n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k) \ \vdots \ 6 $$ Выразим сумму кубов: $$ n^3 + m^3 + k^3 = (n + m + k) + ((n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k)) $$ По условию сумма $n + m + k$ делится на $6$, и выражение $((n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k))$ также делится на $6$. Сумма двух чисел, делящихся на $6$, делится на $6$. Следовательно, сумма $n^3 + m^3 + k^3$ делится на $6$, что и требовалось доказать.