ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.116

Пусть меньшее натуральное число равно $n$, тогда следующее за ним последовательное натуральное число равно $n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$. Составим разность кубов этих чисел (из куба большего числа вычтем куб меньшего): $$ (n + 1)^3 - n^3 $$ Применим формулу куба суммы двух выражений $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и раскроем скобки: $$ (n + 1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 3n^2 + 3n + 1 $$ Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $3$ за скобки: $$ 3(n^2 + n) + 1 $$ Так как $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $n^2 + n$ также является натуральным числом. Обозначим его через $k$ ($k = n^2 + n$, $k \in \mathbb{N}$). Тогда наше выражение принимает вид: $$ 3k + 1 $$ Число вида $3k + 1$ при делении на $3$ даёт остаток $1$, то есть не делится на $3$ нацело. Утверждение доказано.