ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.111

1) Выражение представляет собой формулу куба суммы двух выражений: $$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ Представим слагаемые в виде кубов и утроенных произведений: $$ 1000x^9 = (10x^3)^3 $$ $$ \frac{1}{27}y^6 = \left(\frac{1}{3}y^2\right)^3 $$ Проверим промежуточные слагаемые: $$ 3 \cdot (10x^3)^2 \cdot \frac{1}{3}y^2 = 3 \cdot 100x^6 \cdot \frac{1}{3}y^2 = 100x^6y^2 $$ $$ 3 \cdot 10x^3 \cdot \left(\frac{1}{3}y^2\right)^2 = 30x^3 \cdot \frac{1}{9}y^4 = \frac{10}{3}x^3y^4 $$ Все коэффициенты совпадают, свернем многочлен по формуле куба суммы: $$ 1000x^9 + 100x^6y^2 + \frac{10}{3}x^3y^4 + \frac{1}{27}y^6 = \left(10x^3 + \frac{1}{3}y^2\right)^3 $$ Ответ: $\left(10x^3 + \frac{1}{3}y^2\right)^3$. --- 2) Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $$ 8x^5 + 36x^4 + 54x^3 + 27x^2 = x^2(8x^3 + 36x^2 + 54x + 27) $$ Выражение в скобках представим в виде куба суммы двух выражений $(a + b)^3$: $$ 8x^3 = (2x)^3 $$ $$ 27 = 3^3 $$ Проверим удвоенные и утроенные члены: $$ 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2 $$ $$ 3 \cdot 2x \cdot 3^2 = 6x \cdot 9 = 54x $$ Следовательно, выражение в скобках сворачивается в $(2x + 3)^3$: $$ x^2(8x^3 + 36x^2 + 54x + 27) = x^2(2x + 3)^3 $$ Ответ: $x^2(2x + 3)^3$. --- 3) Вынесем общий множитель $xy$ за скобки: $$ 125x^4y - 225x^3y^2 + 135x^2y^3 - 27xy^4 = xy(125x^3 - 225x^2y + 135xy^2 - 27y^3) $$ Применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для выражения в скобках: $$ 125x^3 = (5x)^3 $$ $$ 27y^3 = (3y)^3 $$ Проверим промежуточные слагаемые: $$ 3 \cdot (5x)^2 \cdot 3y = 3 \cdot 25x^2 \cdot 3y = 225x^2y $$ $$ 3 \cdot 5x \cdot (3y)^2 = 15x \cdot 9y^2 = 135xy^2 $$ Знаки и коэффициенты соответствуют формуле куба разности: $$ xy(125x^3 - 225x^2y + 135xy^2 - 27y^3) = xy(5x - 3y)^3 $$ Ответ: $xy(5x - 3y)^3$. --- 4) Вынесем общий множитель $a^3b$ за скобки: $$ 27a^3b - 27a^3b^2 + 9a^3b^3 - a^3b^4 = a^3b(27 - 27b + 9b^2 - b^3) $$ Выражение в скобках представляет собой куб разности $(a - b)^3$: $$ 27 = 3^3 $$ $$ b^3 = (b)^3 $$ Проверим промежуточные слагаемые: $$ 3 \cdot 3^2 \cdot b = 3 \cdot 9 \cdot b = 27b $$ $$ 3 \cdot 3 \cdot b^2 = 9b^2 $$ Свернем выражение в скобках по формуле куба разности: $$ a^3b(27 - 27b + 9b^2 - b^3) = a^3b(3 - b)^3 $$ Ответ: $a^3b(3 - b)^3$.