ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.110

Для преобразования выражений в многочлены применим формулы сокращённого умножения для куба суммы и куба разности двух выражений: $$ (u + v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 $$ $$ (u - v)^3 = u^3 - 3u^2v + 3uv^2 - v^3 $$ а также свойства степеней: $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ и $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$. 1) Применим формулу куба разности: $$ \left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b^2\right)^3 = \left(\frac{1}{2}a\right)^3 - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}a\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}b^2\right) + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}a\right) \cdot \left(\frac{1}{3}b^2\right)^2 - \left(\frac{1}{3}b^2\right)^3 $$ Выполним возведение в степени и умножение: $$ = \frac{1}{8}a^3 - 3 \cdot \frac{1}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b^2 + 3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{9}b^4 - \frac{1}{27}b^6 = \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b^2 + \frac{1}{6}ab^4 - \frac{1}{27}b^6 $$ 2) Применим формулу куба суммы: $$ \left(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}y^3\right)^3 = \left(\frac{1}{6}x^2\right)^3 + 3 \cdot \left(\frac{1}{6}x^2\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}y^3\right) + 3 \cdot \left(\frac{1}{6}x^2\right) \cdot \left(\frac{1}{2}y^3\right)^2 + \left(\frac{1}{2}y^3\right)^3 $$ $$ = \frac{1}{216}x^6 + 3 \cdot \frac{1}{36}x^4 \cdot \frac{1}{2}y^3 + 3 \cdot \frac{1}{6}x^2 \cdot \frac{1}{4}y^6 + \frac{1}{8}y^9 = \frac{1}{216}x^6 + \frac{1}{24}x^4y^3 + \frac{1}{8}x^2y^6 + \frac{1}{8}y^9 $$ 3) Применим формулу куба суммы: $$ \left(10a^3 + \frac{1}{3}b^3\right)^3 = (10a^3)^3 + 3 \cdot (10a^3)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}b^3\right) + 3 \cdot (10a^3) \cdot \left(\frac{1}{3}b^3\right)^2 + \left(\frac{1}{3}b^3\right)^3 $$ $$ = 1000a^9 + 3 \cdot 100a^6 \cdot \frac{1}{3}b^3 + 3 \cdot 10a^3 \cdot \frac{1}{9}b^6 + \frac{1}{27}b^9 = 1000a^9 + 100a^6b^3 + \frac{10}{3}a^3b^6 + \frac{1}{27}b^9 $$ 4) Применим формулу куба суммы: $$ (0,3a^5 + 0,5a)^3 = (0,3a^5)^3 + 3 \cdot (0,3a^5)^2 \cdot (0,5a) + 3 \cdot (0,3a^5) \cdot (0,5a)^2 + (0,5a)^3 $$ $$ = 0,027a^{15} + 3 \cdot 0,09a^{10} \cdot 0,5a + 3 \cdot 0,3a^5 \cdot 0,25a^2 + 0,125a^3 $$ $$ = 0,027a^{15} + 0,135a^{11} + 0,225a^7 + 0,125a^3 $$ 5) Запишем обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби: $\frac{1}{2} = 0,5$. Применим формулу куба разности: $$ \left(0,1x^4 - 0,5x^3\right)^3 = (0,1x^4)^3 - 3 \cdot (0,1x^4)^2 \cdot (0,5x^3) + 3 \cdot (0,1x^4) \cdot (0,5x^3)^2 - (0,5x^3)^3 $$ $$ = 0,001x^{12} - 3 \cdot 0,01x^8 \cdot 0,5x^3 + 3 \cdot 0,1x^4 \cdot 0,25x^6 - 0,125x^9 $$ $$ = 0,001x^{12} - 0,015x^{11} + 0,075x^{10} - 0,125x^9 $$ *(в виде обыкновенных дробей: $\frac{1}{1000}x^{12} - \frac{3}{200}x^{11} + \frac{3}{40}x^{10} - \frac{1}{8}x^9$)* 6) Применим формулу куба суммы: $$ (1,5m^3 + 0,3m^4)^3 = (1,5m^3)^3 + 3 \cdot (1,5m^3)^2 \cdot (0,3m^4) + 3 \cdot (1,5m^3) \cdot (0,3m^4)^2 + (0,3m^4)^3 $$ $$ = 3,375m^9 + 3 \cdot 2,25m^6 \cdot 0,3m^4 + 3 \cdot 1,5m^3 \cdot 0,09m^8 + 0,027m^{12} $$ $$ = 3,375m^9 + 2,025m^{10} + 0,405m^{11} + 0,027m^{12} $$