ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.106

Для упрощения выражений применим формулы сокращенного умножения — куб суммы и куб разности двух выражений: $$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ $$ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$ 1) Рассмотрим выражение: $$ \frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27} $$ Представим крайние слагаемые в виде кубов: * $\frac{x^3}{8} = \left(\frac{x}{2}\right)^3$; * $\frac{y^3}{27} = \left(\frac{y}{3}\right)^3$. Проверим утроенные произведения для $a = \frac{x}{2}$ и $b = \frac{y}{3}$: * $3a^2b = 3 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 \cdot \frac{y}{3} = 3 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot \frac{y}{3} = \frac{x^2y}{4}$; * $3ab^2 = 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y^2}{9} = \frac{xy^2}{6}$. Значит, выражение сворачивается в куб разности: $$ \frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27} = \left(\frac{x}{2}\right)^3 - 3 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 \cdot \frac{y}{3} + 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot \left(\frac{y}{3}\right)^2 - \left(\frac{y}{3}\right)^3 = \left(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right)^3 $$ Ответ: $\left(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right)^3$. --- 2) Рассмотрим выражение: $$ \frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8} $$ Представим крайние слагаемые в виде кубов: * $\frac{125m^3}{27} = \left(\frac{5m}{3}\right)^3$; * $\frac{125n^3}{8} = \left(\frac{5n}{2}\right)^3$. Проверим утроенные произведения для $a = \frac{5m}{3}$ и $b = \frac{5n}{2}$: * $3a^2b = 3 \cdot \left(\frac{5m}{3}\right)^2 \cdot \frac{5n}{2} = 3 \cdot \frac{25m^2}{9} \cdot \frac{5n}{2} = \frac{125m^2n}{6}$; * $3ab^2 = 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot \left(\frac{5n}{2}\right)^2 = 5m \cdot \frac{25n^2}{4} = \frac{125mn^2}{4}$. Значит, выражение сворачивается в куб суммы: $$ \frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8} = \left(\frac{5m}{3}\right)^3 + 3 \cdot \left(\frac{5m}{3}\right)^2 \cdot \frac{5n}{2} + 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot \left(\frac{5n}{2}\right)^2 + \left(\frac{5n}{2}\right)^3 = \left(\frac{5m}{3} + \frac{5n}{2}\right)^3 $$ Ответ: $\left(\frac{5m}{3} + \frac{5n}{2}\right)^3$. --- 3) Рассмотрим выражение: $$ 0,008a^3 - 0,6a^2b + 15ab^2 - 125b^3 $$ Представим крайние слагаемые в виде кубов: * $0,008a^3 = (0,2a)^3$; * $125b^3 = (5b)^3$. Проверим утроенные произведения для первого слагаемого $0,2a$ и второго $5b$: * $3 \cdot (0,2a)^2 \cdot 5b = 3 \cdot 0,04a^2 \cdot 5b = 0,6a^2b$; * $3 \cdot 0,2a \cdot (5b)^2 = 0,6a \cdot 25b^2 = 15ab^2$. Значит, многочлен представляет собой куб разности: $$ 0,008a^3 - 0,6a^2b + 15ab^2 - 125b^3 = (0,2a)^3 - 3 \cdot (0,2a)^2 \cdot 5b + 3 \cdot 0,2a \cdot (5b)^2 - (5b)^3 = (0,2a - 5b)^3 $$ Ответ: $(0,2a - 5b)^3$. --- 4) Рассмотрим выражение: $$ 0,027x^3 + 1,08x^2y + 14,4xy^2 + 64y^3 $$ Представим крайние слагаемые в виде кубов: * $0,027x^3 = (0,3x)^3$; * $64y^3 = (4y)^3$. Проверим утроенные произведения для слагаемых $0,3x$ и $4y$: * $3 \cdot (0,3x)^2 \cdot 4y = 3 \cdot 0,09x^2 \cdot 4y = 1,08x^2y$; * $3 \cdot 0,3x \cdot (4y)^2 = 0,9x \cdot 16y^2 = 14,4xy^2$. Следовательно, выражение сворачивается в куб суммы: $$ 0,027x^3 + 1,08x^2y + 14,4xy^2 + 64y^3 = (0,3x)^3 + 3 \cdot (0,3x)^2 \cdot 4y + 3 \cdot 0,3x \cdot (4y)^2 + (4y)^3 = (0,3x + 4y)^3 $$ Ответ: $(0,3x + 4y)^3$.