ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.103

Для упрощения данных выражений применим формулы сокращенного умножения: куб суммы $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ и куб разности $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. 1) $8a^3 + 36a^2 + 54a + 27$ Представим крайние слагаемые в виде кубов одночленов: $8a^3 = (2a)^3$ и $27 = 3^3$. Проверим промежуточные слагаемые на соответствие формуле куба суммы: $$ 3 \cdot (2a)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 4a^2 \cdot 3 = 36a^2 $$ $$ 3 \cdot (2a) \cdot 3^2 = 3 \cdot 2a \cdot 9 = 54a $$ Все слагаемые соответствуют формуле при $A = 2a$ и $B = 3$: $$ 8a^3 + 36a^2 + 54a + 27 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2a) \cdot 3^2 + 3^3 = (2a + 3)^3 $$ 2) $125x^3 - 225x^2y + 135xy^2 - 27y^3$ Представим первое и последнее слагаемые в виде кубов одночленов: $125x^3 = (5x)^3$ и $27y^3 = (3y)^3$. Проверим промежуточные слагаемые: $$ 3 \cdot (5x)^2 \cdot 3y = 3 \cdot 25x^2 \cdot 3y = 225x^2y $$ $$ 3 \cdot 5x \cdot (3y)^2 = 3 \cdot 5x \cdot 9y^2 = 135xy^2 $$ Знаки чередуются ($+$, $-$, $+$, $-$), что соответствует формуле куба разности при $A = 5x$ и $B = 3y$: $$ 125x^3 - 225x^2y + 135xy^2 - 27y^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 3y + 3 \cdot 5x \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = (5x - 3y)^3 $$ 3) $\frac{u^3}{8} + \frac{3u^2v}{2} + 6uv^2 + 8v^3$ Представим крайние слагаемые в виде кубов одночленов: $\frac{u^3}{8} = \left(\frac{u}{2}\right)^3$ и $8v^3 = (2v)^3$. Проверим промежуточные слагаемые: $$ 3 \cdot \left(\frac{u}{2}\right)^2 \cdot 2v = 3 \cdot \frac{u^2}{4} \cdot 2v = \frac{3u^2v}{2} $$ $$ 3 \cdot \left(\frac{u}{2}\right) \cdot (2v)^2 = 3 \cdot \frac{u}{2} \cdot 4v^2 = 6uv^2 $$ Выражение сворачивается по формуле куба суммы при $A = \frac{u}{2}$ и $B = 2v$: $$ \frac{u^3}{8} + \frac{3u^2v}{2} + 6uv^2 + 8v^3 = \left(\frac{u}{2}\right)^3 + 3 \cdot \left(\frac{u}{2}\right)^2 \cdot 2v + 3 \cdot \left(\frac{u}{2}\right) \cdot (2v)^2 + (2v)^3 = \left(\frac{u}{2} + 2v\right)^3 $$ 4) $0,001a^3 - 0,3a^2b + 30ab^2 - 1000b^3$ Представим крайние слагаемые в виде кубов одночленов: $0,001a^3 = (0,1a)^3$ и $1000b^3 = (10b)^3$. Проверим промежуточные слагаемые: $$ 3 \cdot (0,1a)^2 \cdot 10b = 3 \cdot 0,01a^2 \cdot 10b = 0,3a^2b $$ $$ 3 \cdot 0,1a \cdot (10b)^2 = 3 \cdot 0,1a \cdot 100b^2 = 30ab^2 $$ Выражение сворачивается по формуле куба разности при $A = 0,1a$ и $B = 10b$: $$ 0,001a^3 - 0,3a^2b + 30ab^2 - 1000b^3 = (0,1a)^3 - 3 \cdot (0,1a)^2 \cdot 10b + 3 \cdot 0,1a \cdot (10b)^2 - (10b)^3 = (0,1a - 10b)^3 $$ Ответ: 1) $(2a + 3)^3$; 2) $(5x - 3y)^3$; 3) $\left(\frac{u}{2} + 2v\right)^3$; 4) $(0,1a - 10b)^3$.