ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.102

Для преобразования многочленов воспользуемся формулами сокращённого умножения: - куб суммы двух выражений: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$; - куб разности двух выражений: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. 1) $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ Выражение представляет собой формулу куба разности для $A = x$ и $B = y$: $$ x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3 $$ 2) $8 + 12x + 6x^2 + x^3$ Представим слагаемые в виде кубов и утроенных произведений чисел $2$ и $x$: $$ 8 + 12x + 6x^2 + x^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = (2 + x)^3 $$ 3) $27 - 27b + 9b^2 - b^3$ Представим слагаемые в виде кубов и утроенных произведений чисел $3$ и $b$: $$ 27 - 27b + 9b^2 - b^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot b + 3 \cdot 3 \cdot b^2 - b^3 = (3 - b)^3 $$ 4) $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$ Заметим, что $8b^3 = (2b)^3$. Проверим средние члены формулы для $A = a$ и $B = 2b$: - $3 \cdot a^2 \cdot (2b) = 6a^2b$; - $3 \cdot a \cdot (2b)^2 = 3 \cdot a \cdot 4b^2 = 12ab^2$. Получаем: $$ a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = (a + 2b)^3 $$ 5) $0,008 + 0,12a + 0,6a^2 + a^3$ Так как $0,008 = (0,2)^3$, проверим удвоенные и утроенные произведения для $A = 0,2$ и $B = a$: - $3 \cdot (0,2)^2 \cdot a = 3 \cdot 0,04 \cdot a = 0,12a$; - $3 \cdot 0,2 \cdot a^2 = 0,6a^2$. Получаем: $$ 0,008 + 0,12a + 0,6a^2 + a^3 = (0,2)^3 + 3 \cdot (0,2)^2 \cdot a + 3 \cdot 0,2 \cdot a^2 + a^3 = (0,2 + a)^3 $$ 6) $\frac{m^3}{27} - m^2n + 9mn^2 - 27n^3$ Заметим, что $\frac{m^3}{27} = \left(\frac{m}{3}\right)^3$ и $27n^3 = (3n)^3$. Проверим средние слагаемые для $A = \frac{m}{3}$ и $B = 3n$: - $3 \cdot \left(\frac{m}{3}\right)^2 \cdot (3n) = 3 \cdot \frac{m^2}{9} \cdot 3n = m^2n$; - $3 \cdot \frac{m}{3} \cdot (3n)^2 = m \cdot 9n^2 = 9mn^2$. Получаем: $$ \frac{m^3}{27} - m^2n + 9mn^2 - 27n^3 = \left(\frac{m}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(\frac{m}{3}\right)^2 \cdot (3n) + 3 \cdot \frac{m}{3} \cdot (3n)^2 - (3n)^3 = \left(\frac{m}{3} - 3n\right)^3 $$