ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков повторение / упражнение - 0.16

1) $$ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1, \\ 3x - 5y = -3 \end{cases} $$ Умножим обе части первого уравнения на $6$, чтобы избавиться от дробных коэффициентов: $$ 6 \cdot \left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y\right) = 6 \cdot 1 \implies 3x - 2y = 6 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} 3x - 2y = 6, \\ 3x - 5y = -3 \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе способом сложения: $$ (3x - 2y) - (3x - 5y) = 6 - (-3) $$ $$ 3y = 9 $$ $$ y = 3 $$ Подставим значение $y = 3$ в уравнение $3x - 2y = 6$: $$ 3x - 2 \cdot 3 = 6 $$ $$ 3x - 6 = 6 $$ $$ 3x = 12 $$ $$ x = 4 $$ Ответ: $(4; 3)$. --- 2) $$ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2}, \\ 4y - x = \frac{2}{3} \end{cases} $$ Выразим $x$ из второго уравнения: $$ x = 4y - \frac{2}{3} $$ Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение: $$ 3\left(4y - \frac{2}{3}\right) - 2y = \frac{1}{2} $$ $$ 12y - 2 - 2y = \frac{1}{2} $$ $$ 10y = \frac{1}{2} + 2 $$ $$ 10y = \frac{5}{2} $$ $$ y = \frac{5}{2 \cdot 10} = \frac{1}{4} $$ Найдем значение $x$: $$ x = 4 \cdot \frac{1}{4} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{4}\right)$. --- 3) $$ \begin{cases} \frac{1}{4}x - y = -5, \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y = 3 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $4$, а второе — на $14$: $$ \begin{cases} 4 \cdot \left(\frac{1}{4}x - y\right) = 4 \cdot (-5), \\ 14 \cdot \left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y\right) = 14 \cdot 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x - 4y = -20, \\ 7x - 2y = 42 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $$ x = 4y - 20 $$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$ 7(4y - 20) - 2y = 42 $$ $$ 28y - 140 - 2y = 42 $$ $$ 26y = 42 + 140 $$ $$ 26y = 182 $$ $$ y = \frac{182}{26} = 7 $$ Найдем значение $x$: $$ x = 4 \cdot 7 - 20 = 28 - 20 = 8 $$ Ответ: $(8; 7)$. --- 4) $$ \begin{cases} 2x - 3y = -1, \\ \frac{y}{x} = 0,75 \end{cases} $$ Так как $x$ находится в знаменателе, $x \neq 0$. Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Из второго уравнения выразим $y$: $$ \frac{y}{x} = \frac{3}{4} \implies y = \frac{3}{4}x $$ Подставим выражение для $y$ в первое уравнение: $$ 2x - 3 \cdot \left(\frac{3}{4}x\right) = -1 $$ $$ 2x - \frac{9}{4}x = -1 $$ $$ \frac{8}{4}x - \frac{9}{4}x = -1 $$ $$ -\frac{1}{4}x = -1 $$ $$ x = -1 \cdot (-4) $$ $$ x = 4 $$ Найдем значение $y$: $$ y = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 $$ Ответ: $(4; 3)$.