ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.178

Раскроем точное значение выражения $(1 + a)^2$ по формуле квадрата суммы двух выражений: $$ (1 + a)^2 = 1 + 2a + a^2 $$ Абсолютная погрешность приближения определяется как модуль разности точного и приближенного значений: $$ \Delta = |(1 + a)^2 - (1 + 2a)| = |1 + 2a + a^2 - 1 - 2a| = |a^2| = a^2 $$ Таким образом, абсолютная погрешность приближенного значения, найденного по формуле $(1 + a)^2 \approx 1 + 2a$, равна $a^2$. Вычислим приближенные и точные значения, а также абсолютную ($\Delta$) и относительную ($\delta = \frac{\Delta}{x_{\text{точн}}} \cdot 100\%$) погрешности для каждого пункта: 1) $(1 + 0,001)^2$ Здесь $a = 0,001$. - Приближенное значение по формуле: $1 + 2 \cdot 0,001 = 1 + 0,002 = 1,002$. - Точное значение на калькуляторе: $(1 + 0,001)^2 = 1,001^2 = 1,002001$. - Абсолютная погрешность: $\Delta = |1,002001 - 1,002| = 0,000001 = 10^{-6}$. - Относительная погрешность: $$ \delta = \frac{0,000001}{1,002001} \cdot 100\% \approx 0,0001\% $$ 2) $1,05^2 = (1 + 0,05)^2$ Здесь $a = 0,05$. - Приближенное значение по формуле: $1 + 2 \cdot 0,05 = 1 + 0,1 = 1,1$. - Точное значение на калькуляторе: $1,05^2 = 1,1025$. - Абсолютная погрешность: $\Delta = |1,1025 - 1,1| = 0,0025$. - Относительная погрешность: $$ \delta = \frac{0,0025}{1,1025} \cdot 100\% \approx 0,23\% $$ 3) $1,002^2 = (1 + 0,002)^2$ Здесь $a = 0,002$. - Приближенное значение по формуле: $1 + 2 \cdot 0,002 = 1 + 0,004 = 1,004$. - Точное значение на калькуляторе: $1,002^2 = 1,004004$. - Абсолютная погрешность: $\Delta = |1,004004 - 1,004| = 0,000004$. - Относительная погрешность: $$ \delta = \frac{0,000004}{1,004004} \cdot 100\% \approx 0,0004\% $$ 4) $0,999^2 = (1 - 0,001)^2 = (1 + (-0,001))^2$ Здесь $a = -0,001$. - Приближенное значение по формуле: $1 + 2 \cdot (-0,001) = 1 - 0,002 = 0,998$. - Точное значение на калькуляторе: $0,999^2 = 0,998001$. - Абсолютная погрешность: $\Delta = |0,998001 - 0,998| = 0,000001 = 10^{-6}$. - Относительная погрешность: $$ \delta = \frac{0,000001}{0,998001} \cdot 100\% \approx 0,0001\% $$ Ответ: Абсолютная погрешность формулы равна $a^2$. 1) Приближенное значение: $1,002$; $\Delta = 0,000001$; $\delta \approx 0,0001\%$. 2) Приближенное значение: $1,1$; $\Delta = 0,0025$; $\delta \approx 0,23\%$. 3) Приближенное значение: $1,004$; $\Delta = 0,000004$; $\delta \approx 0,0004\%$. 4) Приближенное значение: $0,998$; $\Delta = 0,000001$; $\delta \approx 0,0001\%$.