ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 624

а) Рассмотрим дробь: $$ \frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}} $$ Числа $1999$ и $1997$ являются нечётными. Для любого нечётного натурального числа $n$ многочлен вида $a^n + b^n$ делится нацело на двучлен $a + b$: $$ a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots - ab^{n-2} + b^{n-1}) $$ Разложим числитель и знаменатель на множители: $$ a^{1999} + b^{1999} = (a + b)(a^{1998} - a^{1997}b + \dots + b^{1998}) $$ $$ a^{1997} + b^{1997} = (a + b)(a^{1996} - a^{1995}b + \dots + b^{1996}) $$ Числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель $a + b$, следовательно, дробь можно сократить на $a + b$ (при условии $a + b \neq 0$). Ответ: да, дробь сократима (на $a + b$). б) Рассмотрим дробь: $$ \frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1} $$ Для любого натурального числа $n$ выражение вида $a^n - 1$ делится нацело на двучлен $a - 1$: $$ a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) $$ Разложим числитель и знаменатель на множители: $$ a^{1999} - 1 = (a - 1)(a^{1998} + a^{1997} + \dots + a + 1) $$ $$ a^{1998} - 1 = (a - 1)(a^{1997} + a^{1996} + \dots + a + 1) $$ Числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель $a - 1$, следовательно, дробь можно сократить на $a - 1$ (при условии $a \neq 1$). Ответ: да, дробь сократима (на $a - 1$).