ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 622

**а)** Докажем формулу разложения для разности пятых степеней: $$ a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) $$ Для доказательства раскроем скобки в правой части равенства, умножив многочлен на многочлен: $$ (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) $$ $$ = (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) $$ Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые: $$ = a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5 = a^5 - b^5 $$ Получили левую часть равенства. Формула доказана. --- **б)** Докажем формулу разложения для разности шестых степеней: $$ a^6 - b^6 = (a - b)(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) $$ Раскроем скобки в правой части равенства: $$ (a - b)(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) = a(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) - b(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) $$ $$ = (a^6 + a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5) - (a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5 + b^6) $$ Приведем подобные слагаемые: $$ = a^6 + a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5 - a^5b - a^4b^2 - a^3b^3 - a^2b^4 - ab^5 - b^6 = a^6 - b^6 $$ Получили левую часть равенства. Формула доказана. *Примечание.* Это же выражение можно разложить на множители через формулы разности квадратов и кубов: $$ a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2) $$ --- **в)** Докажем формулу разложения для суммы пятых степеней: $$ a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) $$ Раскроем скобки в правой части равенства: $$ (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) + b(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) $$ $$ = (a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4) + (a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5) $$ Приведем подобные слагаемые (слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются): $$ = a^5 - a^4b + a^4b + a^3b^2 - a^3b^2 - a^2b^3 + a^2b^3 + ab^4 - ab^4 + b^5 = a^5 + b^5 $$ Получили левую часть равенства. Формула доказана. --- **г)** Докажем формулу разложения для суммы седьмых степеней: $$ a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6) $$ Раскроем скобки в правой части равенства: $$ (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6) = a(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6) + b(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6) $$ $$ = (a^7 - a^6b + a^5b^2 - a^4b^3 + a^3b^4 - a^2b^5 + ab^6) + (a^6b - a^5b^2 + a^4b^3 - a^3b^4 + a^2b^5 - ab^6 + b^7) $$ Приведем подобные слагаемые: $$ = a^7 - a^6b + a^6b + a^5b^2 - a^5b^2 - a^4b^3 + a^4b^3 + a^3b^4 - a^3b^4 - a^2b^5 + a^2b^5 + ab^6 - ab^6 + b^7 = a^7 + b^7 $$ Получили левую часть равенства. Формула доказана.